線型代数学 2023 6/10 数学 2023年6月10日 ベクトル空間 定義 ベクトル空間 ベクトル 単位ベクトル ベクトル空間の部分空間 元によって張られる部分空間 一次結合・線型結合 一次従属・線型従属 一次独立・線型独立 基底 順序基底 標準基底 次元 同次連立方程式 自明な解と自明でない解 行列の基本変形 基本行列 拡大係数行列 定理 基底の一次結合の一意性 一次従属な元からの一次独立な元の抽出 生成元の集合と基底 次元数と一次独立な元の個数の関係 一次独立な元の集合と基底 連立一次方程式の解の一意性 非自明な解と行列式 基本行列の逆行列 基本行列の正則性 ガウスの消去法 ガウスの消去法の計算量 行列積の転置 線型写像 定義 写像 定義域・終域・値・像・値域 合成写像 単射 全射 全単射 逆写像・逆像 核 階数 退化次数 恒等写像・恒等変換 線型写像 線型変換 正則な線型変換と逆変換 同型写像 同型 座標ベクトル 定理 線型写像の性質 線型写像の一意性 線型写像と行列の関係 全射・単射と合成写像 合成写像の線型性 同型写像の合成写像 ベクトル空間と同型 基底と同型写像 部分空間の像 部分空間の次元 次元定理 線型変換の積の次元と次元の和 線型変換の積と核 正則と六つの同等な条件 行列式が0でない 逆元が存在する 線型変換が正則 フルランク 核が0 自明な解しかもたない 正則行列の積 線型写像と行列 定義 行列の階数 フルランク 列空間と行空間 表現行列 線型変換の行列表現 基底変換行列 行列の対等・同値 行列の相似 定理 列階数と行階数 行列の階数の性質 一次独立な列（行）ベクトルの最大個数 列空間・行空間の次元 小行列式の最大次数 基底変換行列の逆行列 基底変換行列の基底の取り換え 行列の相似と基底変換行列 行列の相似と表現行列 行列式 定義 行列式写像 行列式 線型変換の行列式 置換 恒等置換 逆置換 置換の積 互換 偶置換・奇置換 群 対称群と置換群 符号 余因子 余因子行列 小行列・主小行列・首座小行列 定理 行列式写像の一意性とその存在 正規化条件を除いた行列式写像 符号の性質 群の性質 行列式の置換を用いた表現 行列式の性質逆行列の行列式 列の入れ替え 列のスカラー倍の加算 同じ列ベクトルを含む行列式 積の行列式 一次従属との関係 すべての固有値の積 複素共役の行列式 転置行列の行列式 余因子展開 余因子展開の性質 余因子行列の性質 余因子行列による逆行列の表現 区分けされた三角行列の行列式 区分けされた行列の行列式 正則行列の首座小行列の正則性 行列の標準化 定義 直交 直交系 正規直交系 直交基底 正規直交基底 直交空間 直交補空間 行列の固有値と固有ベクトル 行列の特異値と特異ベクトル 線形変換の固有値と固有ベクトル 広義の固有ベクトル 部分空間の和と直和 固有空間 広義の固有空間 固有多項式 対角化可能 定理 代数学の基本定理 固有値の存在 グラム・シュミットの正規直交化法 区分けされた三角行列の固有多項式 対角化可能と同等な条件 基底が固有ベクトル 固有空間の直和 固有空間の次元 行列の対角化 基底が全て固有ベクトル 三角化定理 フロベニウスの定理 ハミルトン・ケーリーの定理 可換な線型変換の合成と核 広義の固有ベクトルの拡張 相違なる固有値と固有ベクトル 相違なる固有値と広義の固有ベクトル 相違なる固有値と広義の固有空間の和 広義の固有空間への縮小と固有値 分解定理 内積空間 定義 双一次形式と共役双一次形式 対称双一次形式とエルミート双一次形式 極形式 双一次形式の表現行列 二次形式とエルミート形式 エルミート形式の符号 エルミート形式の標準系 行列の符号 非退化 内積 標準内積 内積空間 内積の公理 ノルム 随伴変換 エルミート変換 対称変換 正規変換 不変と縮小 定理 座標ベクトルの内積 座標の抽出 極形式の一意性 双一次形式の行列による表現 二次形式の行列による表現 共役双一次形式と線型変換 エルミート双一次形式とエルミート変換 行列の符号と行と列の入れ替え シルヴェスターの慣性法則 行列の符号と同値な定義 すべての固有値の符号 すべての主小行列式の符号 すべての首座小行列式の符号 グラム行列 ユニタリ行列による対角化 コレスキー分解の存在 随伴変換の一意性 エルミート変換の固有値 可換な合成写像に共通な固有ベクトル 正規直交系の拡大 不変部分空間と表現行列 不変部分空間の直和と表現行列 可換な合成写像と上三角化 表現行列の上三角化 複素内積空間のテプリッツの定理 正規変換の相異なる固有値と固有ベクトル 実内積空間のテプリッツの定理 種々の行列 定義 実対称行列 三角行列 単三角行列 直交行列 随伴行列（エルミート行列） ユニタリ行列 正則行列と逆行列 正規行列 グラム行列 代表的な行列分解 LU分解 コレスキー分解 グラムシュミット分解 QR分解 固有値分解 特異値分解 定理 三角行列の積 三角行列の行列式 三角行列の逆行列 三角行列の固有値 ユニタリ行列と同値な条件 ユニタリ行列の積 ユニタリ行列の逆行列 ユニタリ行列による対角化 正則行列の逆行列と転置 実対称行列の性質 固有値が実数 固有ベクトルが直交 直交行列で対角化可能 正規直交基底を構成可能 実正方行列で生成可能 LU分解の存在と必要十分条件 LU分解の一意性 LU分解と連立一次方程式 LU分解の求め方 コレスキー分解の存在 コレスキー分解の一意性 グラムシュミット分解の存在 グラムシュミット分解の一意性 QR分解の存在 QR分解の一意性 特異値分解の存在 数学
