線形代数 2022 8/21 数学 2022年8月21日 ベクトル空間 定義 ベクトル空間ベクトル単位ベクトルベクトル空間の部分空間元によって張られる部分空間一次結合・線型結合一次従属・線型従属一次独立・線型独立基底順序基底標準基底次元同次連立方程式自明な解と自明でない解行列の基本変形基本行列拡大係数行列 定理 基底の一次結合の一意性一次従属な元からの一次独立な元の抽出生成元の集合と基底次元数と一次独立な元の個数の関係一次独立な元の集合と基底連立一次方程式の解の一意性非自明な解と行列式基本行列の逆行列基本行列の正則性ガウスの消去法ガウスの消去法の計算量 線型写像 定義 写像定義域・終域・値・像・値域合成写像単射全射全単射逆写像・逆像核階数退化次数恒等写像・恒等変換線型写像線型変換正則な線型変換と逆変換同型写像同型座標ベクトル 定理 線型写像の性質線型写像の一意性線型写像と行列の関係全射・単射と合成写像合成写像の線型性同型写像の合成写像ベクトル空間と同型基底と同型写像部分空間の像部分空間の次元次元定理線型変換の積の次元と次元の和線型変換の積と核正則と六つの同等な条件行列式が0でない逆元が存在する線型変換が正則フルランク核が0自明な解しかもたない正則行列の積 線型写像と行列 定義 行列の階数フルランク列空間と行空間表現行列線型変換の行列表現基底変換行列行列の対等・同値行列の相似 定理 列階数と行階数行列の階数の性質一次独立な列（行）ベクトルの最大個数列空間・行空間の次元小行列式の最大次数基底変換行列の逆行列基底変換行列の基底の取り換え行列の相似と基底変換行列行列の相似と表現行列 行列式 定義 行列式写像行列式線型変換の行列式置換恒等置換逆置換置換の積互換偶置換・奇置換群対称群と置換群符号余因子余因子行列小行列・主小行列・首座小行列 定理 行列式写像の一意性とその存在正規化条件を除いた行列式写像符号の性質群の性質行列式の置換を用いた表現行列式の性質逆行列の行列式列の入れ替え列のスカラー倍の加算同じ列ベクトルを含む行列式積の行列式一次従属との関係すべての固有値の積複素共役の行列式転置行列の行列式余因子展開余因子展開の性質余因子行列の性質余因子行列による逆行列の表現区分けされた三角行列の行列式区分けされた行列の行列式正則行列の首座小行列の正則性 行列の標準化 定義 直交直交系正規直交系直交基底正規直交基底直交空間直交補空間行列の固有値と固有ベクトル行列の特異値と特異ベクトル線形変換の固有値と固有ベクトル広義の固有ベクトル部分空間の和と直和固有空間広義の固有空間固有多項式対角化可能 定理 代数学の基本定理固有値の存在グラム・シュミットの正規直交化法区分けされた三角行列の固有多項式対角化可能と同等な条件基底が固有ベクトル固有空間の直和固有空間の次元行列の対角化基底が全て固有ベクトル三角化定理フロベニウスの定理ハミルトン・ケーリーの定理可換な線型変換の合成と核広義の固有ベクトルの拡張相違なる固有値と固有ベクトル相違なる固有値と広義の固有ベクトル相違なる固有値と広義の固有空間の和広義の固有空間への縮小と固有値分解定理 内積空間 定義 双一次形式と共役双一次形式対称双一次形式とエルミート双一次形式極形式双一次形式の表現行列二次形式とエルミート形式エルミート形式の符号エルミート形式の標準系行列の符号非退化内積標準内積内積空間内積の公理ノルム随伴変換エルミート変換対称変換正規変換不変と縮小 定理 座標ベクトルの内積座標の抽出極形式の一意性双一次形式の行列による表現二次形式の行列による表現共役双一次形式と線型変換エルミート双一次形式とエルミート変換行列の符号と行と列の入れ替えシルヴェスターの慣性法則行列の符号と同値な定義すべての固有値の符号すべての主小行列式の符号すべての首座小行列式の符号グラム行列ユニタリ行列による対角化コレスキー分解の存在随伴変換の一意性エルミート変換の固有値可換な合成写像に共通な固有ベクトル正規直交系の拡大不変部分空間と表現行列不変部分空間の直和と表現行列可換な合成写像と上三角化表現行列の上三角化複素内積空間のテプリッツの定理正規変換の相異なる固有値と固有ベクトル実内積空間のテプリッツの定理 種々の行列 定義 実対称行列三角行列単三角行列直交行列随伴行列（エルミート行列）ユニタリ行列正則行列と逆行列正規行列グラム行列代表的な行列分解LU分解コレスキー分解グラムシュミット分解QR分解固有値分解特異値分解 定理 三角行列の積三角行列の行列式三角行列の逆行列三角行列の固有値ユニタリ行列と同値な条件ユニタリ行列の積ユニタリ行列の逆行列ユニタリ行列による対角化実対称行列の性質固有値が実数固有ベクトルが直交直交行列で対角化可能正規直交基底を構成可能実正方行列で生成可能LU分解の存在と必要十分条件LU分解の一意性LU分解と連立一次方程式LU分解の求め方コレスキー分解の存在コレスキー分解の一意性グラムシュミット分解の存在グラムシュミット分解の一意性QR分解の存在QR分解の一意性特異値分解の存在 数学
