【徹底解説】ユニタリ行列による上三角化

zuka

こんにちは。
zuka(@beginaid)です。

本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。記事一覧はこちらの目次ページからご覧ください。

初学者の分かりやすさを優先するため,多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。

目次

ユニタリ行列による上三角化

$n$次複素行列$A$がユニタリ行列によって対角化されるための必要十分条件は,$A$が正規行列であることである。すなわち,適当な$n$次ユニタリ行列$U$に対して

\begin{align}
U^{-1}AU &= U^{\ast}AU
\end{align}

が対角行列となるための必要十分条件は$A$が正規行列であることである。

複素内積空間のテプリッツの定理を行列に置き換えた定理です。

証明

複素内積空間のテプリッツの定理において,正規直交基底をユニタリ行列とみなし,表現行列を$A$とおくと,ただちに上の主張は示されます。

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