zukaこんにちは。
zuka（@beginaid）です。
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初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
ユニタリ行列による上三角化
$n$次複素行列$A$がユニタリ行列によって対角化されるための必要十分条件は，$A$が正規行列であることである。すなわち，適当な$n$次ユニタリ行列$U$に対して
\begin{align}
U^{-1}AU &= U^{\ast}AU
\end{align}
U^{-1}AU &= U^{\ast}AU
\end{align}
が対角行列となるための必要十分条件は$A$が正規行列であることである。
複素内積空間のテプリッツの定理を行列に置き換えた定理です。
証明
複素内積空間のテプリッツの定理において，正規直交基底をユニタリ行列とみなし，表現行列を$A$とおくと，ただちに上の主張は示されます。
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