【徹底解説】分解定理とは

本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。

初学者の分かりやすさを優先するため,多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。

目次

分解定理

$V$を$\mK$上の$n$次元内積空間とする。ただし,$\mK$は複素数空間$\mC$または実数空間$\mR$を表す。$F$を$V$の線型変換とし,$F$の固有多項式を$f_{F}(x)$の$\mK$における因数分解を

\begin{align}
f_{F}(x) &= (x-\alpha_{1})^{n_{1}}\cdots (x-\alpha_{s})^{n_{s}}\label{因数分解}
\end{align}

とする。さらに,$F$の相違なる固有値を$\alpha_{1},\ldots,\alpha_{s}$とし,$n_{1}{+}\cdots{+}n_{s}{=}n$とする。このとき,$\alpha_{i}$に対する広義の固有空間を$\tilde{W}(\alpha_{i})$は

\begin{align}
\Ker (F-\alpha_{i}I)^{n_{i}}\label{主題1}
\end{align}

に等しく,$V$は

\begin{align}
V &= \tilde{W}(\alpha_{1})\oplus\cdots\oplus\tilde{W}(\alpha_{s})\label{主題2}
\end{align}

と直和分解される。また,$\tilde{W}(\alpha_{i})$の次元は固有値$\alpha_{i}$の重複度に等しい。すなわち,$i=1,\ldots,s$に対して

\begin{align}
\dim \tilde{W}(\alpha_{i}) &= n_{i}\label{主題3}
\end{align}

が成り立つ。

行列の標準化において中心的な役割を果たす定理です。

証明

ハミルトン・ケーリーの定理より$f_{F}(F)=0$,すなわち

\begin{align}
(F-\alpha_{1}I)^{n_{1}}\cdots(F-\alpha_{s}I)^{n_{s}} &= 0
\end{align}

が成り立ちます。いま,$i{=}1,\ldots,s$に対して

\begin{align}
W_{i} &= (F-\alpha_{i}I)^{n_{i}}
\end{align}

とおくと,線型変換の積と核より

\begin{align}
\sum_{i=1}^{s}\dim W_{i} &\geq n\label{目的}
\end{align}

が成り立ちます。ここからの方針は,式($\ref{目的}$)の左辺を上から広義固有空間を用いて評価し,広義固有空間の性質を用いて上から$n$でおさえることで式($\ref{主題1}$)と式($\ref{主題2}$)を示すというものです。さて,広義の固有空間の定義より,

\begin{align}
W_{i}\subset \tilde{W}(\alpha_{i})\label{包含}
\end{align}

が成り立ちますので,

\begin{align}
\sum_{i=1}^{s}\dim W_{i}\leq \sum_{i=1}^{s}\dim \tilde{W}(\alpha_{i})
\end{align}

となります。ここで,相違なる固有値と広義の固有空間の和より,

\begin{align}
\sum_{i=1}^{s}\dim \tilde{W}(\alpha_{i}) &= \dim(\tilde{W}(\alpha_{1})\oplus\cdots\oplus\tilde{W}(\alpha_{s}))\label{中間地点}
\end{align}

が成り立ちます。いま,式($\ref{中間地点}$)の左辺は$s$個の広義の固有空間の直和ですので,その次元は$s$と等しくなりますが,定理の仮定より$s$は最大でも$n$となります。以上をまとめると,

\begin{align}
n\leq\sum_{i=1}^{s}\dim W_{i}\leq\sum_{i=1}^{s}\dim \tilde{W}(\alpha_{i}) &= \dim(\tilde{W}(\alpha_{1})\oplus\cdots\oplus\tilde{W}(\alpha_{s}))\leq n\label{不等式}
\end{align}

が成り立ちます。不等式($\ref{不等式}$)の左から第一項目…とよぶことにします。第二項目と第三項目はいずれも$n$であり,

\begin{align}
\dim W_{i}&=\dim\tilde{W}(\alpha_{i})\label{等価}
\end{align}

でなくてはなりません。なぜなら,

\begin{align}
\dim W_{i}<\dim\tilde{W}(\alpha_{i})
\end{align}

を満たす$i$が存在するとしても,$\dim W_{j}$が$\dim\tilde{W}(\alpha_{j})$を上回るような$1\leq j\leq s$を満たす$j$は式($\ref{包含}$)より存在しませんので,不等式($\ref{不等式}$)の第二項目が$n$未満になってしまうからです。また,式($\ref{等価}$)が成り立つときには,

\begin{align}
W_{i}&=\tilde{W}(\alpha_{i})\label{空間}
\end{align}

も成り立ちます。なぜなら,

\begin{align}
W_{i}\subsetneq \tilde{W}(\alpha_{i})
\end{align}

を満たす$i$が存在するとすれば,$W_{i}$と$\tilde{W}(\alpha_{i})$は線型変換の核として定義されますので,$W_{i}$の次元は$\tilde{W}(\alpha_{i})$の次元よりも必ず小さくなるからです。すなわち,広義固有空間が異なるということは,線型変換の核が異なるということですので,広義固有空間の次元も異なるということです。したがって,式($\ref{等価}$)に矛盾することにより,式($\ref{等価}$)が成り立つならば式($\ref{空間}$)が成り立つことが示されました。これは,本定理における式($\ref{主題1}$)が示されたことを意味しています。

続いて,不等式($\ref{不等式}$)の第四項目に着目すると,

\begin{align}
\dim(\tilde{W}(\alpha_{1})\oplus\cdots\oplus\tilde{W}(\alpha_{s}))&=n
\end{align}

が得られます。すなわち,広義固有空間の直和が$n$次元になるということは,

\begin{align}
V &= \dim(\tilde{W}(\alpha_{1})\oplus\cdots\oplus\tilde{W}(\alpha_{s}))
\end{align}

であることに相当します。これは,本定理における式($\ref{主題2}$)が示されたことを意味しています。そこで,以下では式($\ref{主題3}$)を証明します。$F$の$\tilde{W}(\alpha_{i})$への縮小を$F_{i}$とし,$F$の固有多項式を$f_{F}(x)$とすれば,不変部分空間の直和と表現行列区分けされた三角行列の固有多項式より,

\begin{align}
f_{F}(x) &= f_{F_{1}}(x)\cdots f_{F_{i}}(x)\label{固有多項式}
\end{align}

となります。ここで,広義の固有空間への縮小と固有値より$F_{i}$は$\alpha_{i}$以外の固有値をもちません。このとき,定義より固有多項式$f_{F_{i}}(x)$の重複度は表現行列の階数と一致し,表現行列の階数は列空間の次元と一致します。ゆえに,$F_{i}$の表現行列の列空間である$\tilde{W}(\alpha_{i})$の次元を$n^{\prime}_{i}$とすると,

\begin{align}
f_{F_{i}}(x) &= (x-\alpha_{i})^{n^{\prime}_{i}}
\end{align}

でなければなりません。これを式($\ref{固有多項式}$)に代入すると,

\begin{align}
f_{F}(x) &= (x-\alpha_{1})^{n^{\prime}_{1}}\cdots(x-\alpha_{s})^{n^{\prime}_{s}}
\end{align}

が得られます。式($\ref{因数分解}$)と比較すれば,$i{=}1,\ldots,s$に対して$n_{i}{=}n^{\prime}_{i}$でなければならないことが分かります。したがって,式($\ref{主題3}$)が示されました。

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