本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
対称群と置換群
$n$文字の置換全体からなる集合$S_{n}$は群をなし，その群を対称群もしくは置換群という。
対称群の部分群を置換群と定義する場合もあります。
証明
以下では，$S_{n}$が群となることを示します。置換の定義より$\sigma,\tau\in S_{n}$は全単射であり，全単射の合成写像は全単射になることから，$\sigma\circ \tau$は全単射になります。したがって，$\sigma\circ \tau\in S_{n}$になります。すなわち，$S_{n}$は合成写像に関して閉じています。次に，$\sigma,\tau,\rho\in S_{n}$に対し，合成写像の定義より
\begin{alignat}{2}
(\sigma \circ (\tau \circ \rho))(x) &= \sigma((\tau\circ \rho)(x)) &&= \sigma(\tau(\rho(x))) \\[0.7em]
((\sigma \circ \tau)\circ \rho))(x) &= (\sigma\circ \tau)(\rho(x)) &&= \sigma(\tau(\rho(x)))
\end{alignat}
(\sigma \circ (\tau \circ \rho))(x) &= \sigma((\tau\circ \rho)(x)) &&= \sigma(\tau(\rho(x))) \\[0.7em]
((\sigma \circ \tau)\circ \rho))(x) &= (\sigma\circ \tau)(\rho(x)) &&= \sigma(\tau(\rho(x)))
\end{alignat}
が成り立ちます。すなわち，結合法則が成り立ちます。次に，$S_{n}$の元には恒等置換$\varepsilon$が存在しますので，単位元が存在します。次に，置換の定義より，$S_{n}$の任意の元$\sigma$は全単射であるから，逆置換$\sigma^{-1}$が存在します。逆写像の定義より逆写像は全単射となることから，$\sigma^{-1}$は全単射となり，$S_{n}$の元となります。すなわち，$S_{n}$の任意の元には逆元が存在します。以上より，$S_{n}$が群をなすことを示せました。
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