本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
可換な合成写像と上三角行列
$F,G$を$n$次元複素内積空間$V$の線型変換とし，$\dim V\geq 1$とする。もし，$FG=GF$ならば，$V$の適当な正規直交基底$\beta$に対する$F,G$の表現行列$[F]_{\beta},[G]_{\beta}$はともに上三角行列になる。
テプリッツの定理の証明に利用される定理です。
証明
$\dim V=n$に対する帰納法を用いて証明します。$n=1$のときは，$[F]_{\beta},[G]_{\beta}$はともに要素が一つの行列となるため，上三角行列となります。$n\geq 2$とし，$n-1$次元の場合に上の主張が成り立つと仮定します。このとき，$FG=GF$の両辺の随伴変換をとることで，$G^{\ast}F^{\ast}=F^{\ast}G^{\ast}$が成り立ち，$F^{\ast}$と$G^{\ast}$も可換であることが分かります。したがって，可換な合成写像に共通な固有ベクトルより，$F^{\ast}$と$G^{\ast}$には共通の固有ベクトル$\tilde{v}$が存在します。すると，直交補空間の定義より，$\tilde{v}$と直交する$V$の元全体の集合を$W$とすれば，$W$は$n-1$次元の部分空間で
V &= W\oplus \langle\tilde{v}\rangle
\end{align}
を満たします。さて，ここで$W$は$F$に関して不変，かつ$G$に関して不変であることを示します。$W$が$F$に関して不変であることを示すためには，$v\in W$に対して$F(v)\in W$であること，すなわち$(F(v)\mid \tilde{v})=0$であることを示せばよいです。随伴変換の定義と$F^{\ast}$の固有ベクトルの定義を利用することで，
(F(v)\mid \tilde{v}) &= (v\mid F^{\ast}(\tilde{v})) &&= (v\mid \alpha\tilde{v}) &&= \alpha(v\mid \tilde{v}) &&= 0
\end{alignat}
が成り立ちます。すなわち，$W$が$F$に関して不変であることが示されました。同様に，$W$が$G$に関して不変であることが示されます。ゆえに，$F,G$の$W$への縮小$F^{\prime},G^{\prime}$が存在し，帰納法の仮定より$n-1$次元の$W$上の線型変換$F^{\prime},G^{\prime}$の表現行列$[F^{\prime}]_{\beta},[G^{\prime}]_{\beta}$は基底$\beta^{\prime}=\{v_{1},\ldots,v_{n-1}\}$に対してそれぞれ$n-1$次元の上三角行列で表されます。
[F^{\prime}]_{\beta^{\prime}} =
\begin{bmatrix}
a_{11}&\cdots&a_{1,n-1}\\
&\ddots&\\
&&a_{n-1,n-1}
\end{bmatrix},\quad
[G^{\prime}]_{\beta^{\prime}} =
\begin{bmatrix}
b_{11}&\cdots&b_{1,n-1}\\
&\ddots&\\
&&b_{n-1,n-1}
\end{bmatrix}
\end{align}
$V$は$W$と$\langle \tilde{v}\rangle$の直和で表されますから，$\beta^{\prime}$に$v_{n}=\tilde{v}/\|\tilde{v}\|$を付け加えたものを$\beta$とすると，$\beta$は$V$の正規直交基底になります。このとき，表現行列の定義より，$\beta$に対する$F,G$の表現行列は
[F]_{\beta} =
\begin{bmatrix}
a_{11}&\cdots&a_{1,n-1}&a_{1,n}\\
&\ddots&\vdots&\vdots\\
&&a_{n-1,n-1}&a_{n-1,n}\\
&&&a_{n,n}
\end{bmatrix},\quad
[G]_{\beta} =
\begin{bmatrix}
b_{11}&\cdots&b_{1,n-1}&b_{1,n}\\
&\ddots&\vdots&\vdots\\
&&b_{n-1,n-1}&b_{n-1,n}\\
&&&b_{n,n}
\end{bmatrix}
\end{align}
となり，上三角行列となります。したがって，帰納法より任意の$n$に対して上の主張が成り立つことが示されました。
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