本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
行列の相似と基底変換行列
$V$を$\mC$または$\mR$上の$n$次元ベクトル空間，$F$を$V$の線型変換とする。$\alpha,\alpha^{\prime}$を$V$の二つの基底とし，$F$の$\alpha$に関する表現行列を$[F]_{\alpha}=A$，$\alpha^{\prime}$に関する表現行列を$[F]_{\alpha^{\prime}}=A^{\prime}$とする。このとき，基底変換行列$\mT_{\alpha\rightarrow\alpha^{\prime}}$を$P$とすれば，
\begin{align}
A^{\prime} &= P^{-1}AP
\end{align}
A^{\prime} &= P^{-1}AP
\end{align}
が成り立つ。
基底変換行列の定義より自然に導かれる定理です。
証明
基底変換行列の基底の取り換えを上の設定に適用すると，
\begin{align}
Q = \mT_{\alpha^{\prime}\rightarrow\alpha}=P^{-1}
\end{align}
Q = \mT_{\alpha^{\prime}\rightarrow\alpha}=P^{-1}
\end{align}
となり，ただちに上の主張が示されます。ただし，基底変換行列の逆行列を利用しました。
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