【徹底解説】行列の相似と基底変換行列

2022年5月23日

本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。

初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。

行列の相似と基底変換行列

$V$ を $C$ または $R$ 上の $n$ 次元ベクトル空間， $F$ を $V$ の線型変換とする。 $α, α^{'}$ を $V$ の二つの基底とし， $F$ の $α$ に関する表現行列を $[F]_{α} = A$ ， $α^{'}$ に関する表現行列を $[F]_{α^{'}} = A^{'}$ とする。このとき，基底変換行列 $T_{α \to α^{'}}$ を $P$ とすれば，

\begin{aligned} (1) & A^{'} & = P^{- 1} A P \end{aligned}

が成り立つ。

基底変換行列の定義より自然に導かれる定理です。

証明

基底変換行列の基底の取り換えを上の設定に適用すると，

\begin{array}{r} (2) & Q = T_{α^{'} \to α} = P^{- 1} \end{array}

となり，ただちに上の主張が示されます。ただし，基底変換行列の逆行列を利用しました。

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証明

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