【徹底解説】対角化可能と固有空間の次元

本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。

初学者の分かりやすさを優先するため,多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。

目次

対角化可能と固有空間の次元

$V$を$\mK$上の$n$次元ベクトル空間とし,$F$を$V$の線型変換とする。ただし,$\mK$は複素数空間$\mC$または実数空間$\mR$を表す。$F$の固有多項式$f_{F}(x)$が$\mK$において

\begin{align}
f_{F}(x) &= (x-\alpha_{1})^{n_{1}}\cdots(x-\alpha_{s})^{n_{s}}\label{仮定}
\end{align}

のように一次式の積に因数分解されるとする。ただし,$\alpha_{1},\ldots,\alpha_{s}$は$\mK$の相違なる元,$n_{1},\ldots,n_{s}$は正の整数で$n_{1}+\cdots+n_{s}=n$である。このとき,$F$が対角化可能であることと次の条件は同等である。

  • 各$i=1,\ldots,s$に対して,$\dim W(\alpha_{i})$は$\alpha_{i}$の重複度$n_{i}$に等しい

併せて対角化可能と同等な条件もおさえておきましょう。

証明

まずは,$n^{\prime}_{i}\leq n_{i}$であることを示しましょう。$W(\alpha_{i})$の一つの基底を$\{v_{1},\ldots,v_{n^{\prime}_{i}}\}$とし,それを拡張した$V$の基底を$\{v_{1},\ldots,v_{n}\}$とします。この基底に関する$F$の表現行列$A$は,定義より

\begin{align}
A &=
\begin{bmatrix}
\alpha_{i} &&&\ast\\
&\ddots&&\\
&&\alpha_{i}&\\
&O&&B
\end{bmatrix}
\end{align}

の形になります。ただし,$B$は$n-n^{\prime}_{i}$次正方行列とします。このとき,区分けされた三角行列の固有多項式より,$F$の固有多項式$f_{F}(x)$は$B$の固有多項式$f_{B}(x)$を用いて

\begin{align}
f_{F}(x) &= (x-\alpha)^{n^{\prime}_{i}}f_{B}(x)
\end{align}

と表されます。これと式($\ref{仮定}$)を比較すれば,

\begin{align}
(x-\alpha_{i})^{n}g(x) &= (x-\alpha)^{n^{\prime}_{i}}f_{B}(x)\label{不等式のタネ}
\end{align}

となります。ただし,式($\ref{仮定}$)における$(x-\alpha_{i})^{n}$以外の項を$g(x)$とおきました。各$\alpha_{i}$は相異なる固有値ですので,$g(x)$は$\alpha_{i}$を解としてもちません。したがって,式($\ref{不等式のタネ}$)より$n^{\prime}_{i}\leq n_{i}$でなくてはなりません。

いま,$F$が対角化可能であるならば,対角化可能と固有空間の直和より$V$は固有空間の直和,すなわち

\begin{align}
V &= W(\alpha_{1})\oplus\cdots\oplus W(\alpha_{s})
\end{align}

で表されます。このとき,各$i=1,\ldots,s$に対して$n^{\prime}_{i}\leq n_{i}$を成り立たせるためには,$V$の次元が$n$であることから,$n^{\prime}=n_{i}$でなくてはなりません。

逆に,$n^{\prime}=n_{i}$ならば,$V$には$n_{1}+\cdots+n_{s}=n$個の固有ベクトルが存在しますので,対角化可能と固有ベクトルより$F$は対角化可能になります。

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