本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
ユニタリ行列の積
ユニタリ行列の積はユニタリ行列になる。
積の前後で直交性を保存するイメージです。
証明
$A,B$をユニタリ行列とすると，$A^{\ast}A=I_{n}$かつ$B^{\ast}B=I_{n}$が成り立ちますので，
\begin{align}
(AB)^{\ast}AB &= B^{\ast}A^{\ast}AB = I_{n}
\end{align}
(AB)^{\ast}AB &= B^{\ast}A^{\ast}AB = I_{n}
\end{align}
が成り立ちます。したがって，$AB$はユニタリ行列になります。これを拡張すれば，ユニタリ行列を任意の回数掛けてもユニタリ行列となることを示すことができます。
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