【徹底解説】次元数と一次独立な元の個数の関係

本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。

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次元数と一次独立な元の個数の関係

ベクトル空間の次元数が一次独立な元の個数に対応するという定理です。

証明

本定理は基底と次元の定義を合体させたものと捉えられます。すなわち，基底と次元の定義より，$V$には$n$個の一次独立な元から構成される基底が存在し，その基底を$\{v_1,\dots ,v_n\}$とします。もし$\{v_1,\dots ,v_n\}$以外に一次独立な$V$の元が存在すると仮定すると，$V$の任意の元は$\{v_1,\dots ,v_n\}$の一次結合で表すことができるという基底の定義に反するため矛盾します。したがって，本定理の主張が示されました。