【徹底解説】生成元の集合と基底

zuka

こんにちは。
zuka(@beginaid)です。

本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。記事一覧はこちらの目次ページからご覧ください。

初学者の分かりやすさを優先するため,多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。

目次

生成元の集合と基底

$V\neq \{0\}$が有限個の元$v_{1},\ldots,v_{s}$によって張られるとする。このとき,$V$の基底を$v_{1},\ldots,v_{s}$から選び出すことができ,その最大個数は$s$である。すなわち,

\begin{align}
\dim V &\leq s
\end{align}

が成り立つ。

一次独立な元の集合と基底では,$V$の一次独立な元の集合は$V$の基底に拡張できることを示している一方で,本定理では,$V$の適当な生成元から基底を選び出すことができることを示しています。

証明

基底は互いに異なり,かつ$0$ではありませんので,与えられた元$v_{1},\ldots,v_{s}$は互いに異なり$0$でないとしても一般性は失われません。いま,$S=\{v_{1},\ldots,v_{s}\}$とします。$S$の部分集合のうち,全ての元が一次独立で,最も多くの元を含むものを$T$とすると,必要があればインデックスを置き換えることで

\begin{align}
T &= \{v_{1},\ldots,v_{n}\}
\end{align}

と表されます。ただし,$n\leq s$です。$n=s$のときは,$T=S$となり,$S$自身が$V$の基底になります。以下では,$n<s$のときに$T$に含まれていない$S$の元が$T$に属さないことを示します。もし,$S$の元で$T$に属さない元,すなわち$v_{n+1},\ldots,v_{s}$が$T$に属するとしても,一次従属な元から一次独立な元を抽出することができますので,結局一次独立な元の集合は$T$となります。以上より,$V$の基底は$T$となります。

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