【徹底解説】正則行列と階数

zuka

こんにちは。
zuka(@beginaid)です。

本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。記事一覧はこちらの目次ページからご覧ください。

初学者の分かりやすさを優先するため,多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。

目次

正則行列と階数

正方行列$A$が正則であることと,次の条件は互いに同等である。

  • $\rank A=n$

併せて正則と六つの同等な条件もおさえておきましょう。

証明

$A$が正則であるとき,正則と六つの同等な条件より,$\det(A)\neq 0$となります。いま,一次従属な列ベクトルから構成される行列の行列式は$0$になることの対偶をとることにより,$\det(A)\neq 0$ならば$A$の列ベクトルは一次独立になります。行列の階数は$A$の列ベクトルのうち一次独立な列ベクトルの最大個数でしたから,$A$の階数は$n$になります。

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