本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
基底の一次結合の一意性
ベクトル空間の次元数分の基底を用意すれば，$V$の任意の元を一意に表すことができるという意味です。
証明
式($\ref{主題}$)とは別に，
\begin{align}
v &= b_{1}v_{1}+\cdots+b_{n}v_{n}
\end{align}
v &= b_{1}v_{1}+\cdots+b_{n}v_{n}
\end{align}
となる実数$b_{1},\ldots,b_{n}$が存在したとします。このとき，
\begin{align}
a_{1}v_{1}+\cdots+a_{n}v_{n} &= b_{1}v_{1}+\cdots+b_{n}v_{n}
\end{align}
a_{1}v_{1}+\cdots+a_{n}v_{n} &= b_{1}v_{1}+\cdots+b_{n}v_{n}
\end{align}
が成り立ちます。両辺を整理すると，
\begin{align}
(a_{1}-b_{1})v_{1}+\cdots+(a_{n}-b_{n})v_{n} &= 0
\end{align}
(a_{1}-b_{1})v_{1}+\cdots+(a_{n}-b_{n})v_{n} &= 0
\end{align}
となります。基底の定義より，$\{v_{1},\ldots,v_{n}\}$は一次独立であり，全ての$i=1,\ldots,n$に対して$a_{i}=b_{i}$となります。したがって，$v$は必ず一意に表されることが示されました。
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