本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
部分空間の次元
$V$を$n$次元ベクトル空間とし，$W$を$V$の部分空間とするとき，以下が成り立つ。
- $\dim W\leq n$
- $\dim W=n$のときに限り$W=V$
- $W$の基底を拡大した$V$の基底が存在する
部分空間という言葉の直感にも反しない定理です。部分空間が元の空間の「一部」を意味するというイメージがありますが，1～3のいずれもがしっくりきます。
証明
次元数と一次独立な元の個数の関係より，$V$の一次独立な元の個数は最大で$n$個になります。ゆえに，次元の定義より$\dim W\leq n$が成り立ちます。また，$\dim W=n$のときは，一次独立な元の集合と基底より$W=V$となります。同様に，$\dim W<n$のときは，一次独立な元の集合と基底より$W$の基底を拡大した$V$の基底を作ることができます。以上で，本定理を示すことができました。
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