【徹底解説】線型変換の積と核

本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。

初学者の分かりやすさを優先するため,多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。

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線型変換の積と核

$G_{1},\ldots,G_{s}$を$n$次元ベクトル空間$V$の線型変換とし,それらの積を$G=G_{1}\cdots G_{s}$とする。$G{=}0$ならば,$V_{i}{=}\Ker G_{i}$とおくとき,

\begin{align}
\sum_{i=1}^{s}\dim V_{i} &\geq n\label{主題}
\end{align}

が成り立つ。

分解定理の証明に利用される定理です。

証明

線型変換の積の次元と次元の和において,$G{=}0$を代入すると式($\ref{主題}$)が得られます。

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