本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
行列式の性質＜複素共役の行列式＞
$n$次正方行列$A$の行列式$\det (A)$は以下の性質をもつ。
- $\det(\oA)=\overline{\det(A)}$
行列式の性質一覧はこちらのページより確認できます。
証明
行列式の置換を用いた表現により，
\begin{align}
\det (\oA) &= \sum_{\sigma \in S_{n}}\sgn (\sigma) \prod_{i=1}^{n}\overline{a_{\sigma(i),i}}\\[0.7em]
&= \overline{\sum_{\sigma \in S_{n}}\sgn (\sigma) \prod_{i=1}^{n}a_{\sigma(i),i}}\\[0.7em]
&= \overline{\det(A)}
\end{align}
\det (\oA) &= \sum_{\sigma \in S_{n}}\sgn (\sigma) \prod_{i=1}^{n}\overline{a_{\sigma(i),i}}\\[0.7em]
&= \overline{\sum_{\sigma \in S_{n}}\sgn (\sigma) \prod_{i=1}^{n}a_{\sigma(i),i}}\\[0.7em]
&= \overline{\det(A)}
\end{align}
が成り立ちます。ただし，符号の定義より$\sgn$が実数であることを利用しました。
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