【徹底解説】正規化条件を除いた行列式写像の性質

zuka

こんにちは。
zuka(@beginaid)です。

本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。記事一覧はこちらの目次ページからご覧ください。

初学者の分かりやすさを優先するため,多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。

目次

正規化条件を除いた行列式写像の性質

写像$D:~M_{n}(\mK^{n})\rightarrow \mK$が行列式写像の条件1と条件2,すなわち$n$重線型かつ交代的である場合,任意の$A\in M_{n}(\mK)$に対して

\begin{align}
D(A) &= \det (A)D(I_{n})
\end{align}

が成り立つ。ただし,$\mK$は実数空間$\mR$または複素数空間$\mC$を表し,$M_{n}(\mK)$は$\mK$の元を成分とする$n$次元正方行列の集合を表し,$I_{n}$は$n$次元単位行列を表す。

行列式写像の条件3は定数倍を正規化する役割を果たしますので,条件1と条件2だけで行列式写像の主要な性質を網羅することができます。

証明

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