本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
符号の性質
$n$文字の集合$\{1,\ldots,n\}$を$J_{n}$とし，$J_{n}$の$n!$個の置換$\sigma$全体の集合を$S_{n}$で表す。$S_{n}$の任意の元$\sigma,\sigma^{\prime}$に対して，
\sgn(\sigma\sigma^{\prime}) &= \sgn(\sigma)\sgn(\sigma^{\prime})\label{1}\\[0.7em]
\sgn(\sigma^{-1}) &= \sgn(\sigma)\label{2}
\end{align}
が成り立つ。
符号の性質は行列式の性質を証明する際に利用されます。
証明
式($\ref{1}$)から示します。$\sigma,\sigma^{\prime}$のいずれもが偶置換，もしくはいずれもが奇置換のとき，$\sigma\sigma^{\prime}$は偶置換となるため式($\ref{1}$)の左辺は$+1$となります。一方，$\sgn(\sigma)\sgn(\sigma^{\prime})$も$+1$となるため，式($\ref{1}$)は成り立ちます。同様に，$\sigma,\sigma^{\prime}$の一方が偶置換でもう一方が偶置換のとき，$\sigma\sigma^{\prime}$は奇置換となるため式($\ref{1}$)の左辺は$-1$となります。一方，$\sgn(\sigma)\sgn(\sigma^{\prime})$も$-1$となるため，式($\ref{1}$)は成り立ちます。以上より，式($\ref{1}$)の左辺がとり得るすべてのケースで式($\ref{1}$)が成り立つことを示せました。
次に，式($\ref{2}$)を示します。$\sigma\sigma^{-1}$が恒等置換，すなわち偶置換であることに注意すると，式($\ref{1}$)より，
\sgn(\sigma)\sgn(\sigma^{-1}) &= \sgn(\sigma\sigma^{-1})\\[0.7em]
&= 1
\end{align}
が成り立ちます。したがって，$\sgn(\sigma)$と$\sgn(\sigma^{-1})$は等しくなければなりません。以上で式($\ref{2}$)を示すことができました。
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