本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
基本行列
行列の基本変形を実現する行列を基本行列といい，以下のように定められる。
\begin{align*}
P_{i,c} ~&=~
\begin{array}{cc}
&\begin{array}{ccccccc}1&\cdots&\cdots&i&\cdots&\cdots&n\end{array} \\[0.7em]
\begin{array}{ccccccc}1\\\vdots\\[0.2em]\vdots\\[0.2em]i\\\vdots\\[0.2em]\vdots\\[0.2em]n\end{array}&
\begin{bmatrix}
1&&&&&&O \\
&\ddots\\
&&\ddots\\
&&&c\\
&&&&\ddots\\
&&&&&\ddots\\
O&&&&&&1
\end{bmatrix}
\end{array}\\[0.7em]\\[0.7em]
Q_{i,j,c} ~&=~
\begin{array}{cc}
&\begin{array}{ccccccc}1&\cdots&i&\cdots&j&\cdots&n\end{array} \\[0.7em]
\begin{array}{ccccccc}1\\\vdots\\[0.2em]i\\\vdots\\[0.2em]j\\[0.2em]\vdots\\[0.2em]n\end{array}&
\begin{bmatrix}
1&&&&&&O\\
&\ddots\\
&&1\\
&&\vdots&\ddots\\
&&c&\cdots&1\\
&&&&&\ddots\\
O&&&&&&1
\end{bmatrix}
\end{array}\\[0.7em]\\[0.7em]
R_{i,j,c} ~&=~
\begin{array}{cc}
&\begin{array}{ccccccc}1&\cdots&j&\cdots&i&\cdots&n\end{array} \\[0.7em]
\begin{array}{ccccccc}1\\\vdots\\[0.2em]j\\\vdots\\[0.2em]i\\[0.2em]\vdots\\[0.2em]n\end{array}&
\begin{bmatrix}
1&&&&&&O\\
&\ddots\\
&&1&\cdots&c\\
&&&\ddots&\vdots\\
&&&&1\\
&&&&&\ddots\\
O&&&&&&1
\end{bmatrix}
\end{array}\\[0.7em]\\[0.7em]
S_{i,j} ~&=~
\begin{array}{cc}
&\begin{array}{ccccccc}1&\cdots&i&\cdots&j&\cdots&n\end{array} \\[0.7em]
\begin{array}{ccccccc}1\\\vdots\\[0.2em]i\\\vdots\\[0.2em]j\\[0.2em]\vdots\\[0.2em]n\end{array}&
\begin{bmatrix}
1&&&&&&O\\
&\ddots\\
&&0&\cdots&1\\
&&\vdots&\ddots&\vdots\\
&&1&\cdots&0\\
&&&&&\ddots\\
O&&&&&&1
\end{bmatrix}
\end{array}
\end{align*}
P_{i,c} ~&=~
\begin{array}{cc}
&\begin{array}{ccccccc}1&\cdots&\cdots&i&\cdots&\cdots&n\end{array} \\[0.7em]
\begin{array}{ccccccc}1\\\vdots\\[0.2em]\vdots\\[0.2em]i\\\vdots\\[0.2em]\vdots\\[0.2em]n\end{array}&
\begin{bmatrix}
1&&&&&&O \\
&\ddots\\
&&\ddots\\
&&&c\\
&&&&\ddots\\
&&&&&\ddots\\
O&&&&&&1
\end{bmatrix}
\end{array}\\[0.7em]\\[0.7em]
Q_{i,j,c} ~&=~
\begin{array}{cc}
&\begin{array}{ccccccc}1&\cdots&i&\cdots&j&\cdots&n\end{array} \\[0.7em]
\begin{array}{ccccccc}1\\\vdots\\[0.2em]i\\\vdots\\[0.2em]j\\[0.2em]\vdots\\[0.2em]n\end{array}&
\begin{bmatrix}
1&&&&&&O\\
&\ddots\\
&&1\\
&&\vdots&\ddots\\
&&c&\cdots&1\\
&&&&&\ddots\\
O&&&&&&1
\end{bmatrix}
\end{array}\\[0.7em]\\[0.7em]
R_{i,j,c} ~&=~
\begin{array}{cc}
&\begin{array}{ccccccc}1&\cdots&j&\cdots&i&\cdots&n\end{array} \\[0.7em]
\begin{array}{ccccccc}1\\\vdots\\[0.2em]j\\\vdots\\[0.2em]i\\[0.2em]\vdots\\[0.2em]n\end{array}&
\begin{bmatrix}
1&&&&&&O\\
&\ddots\\
&&1&\cdots&c\\
&&&\ddots&\vdots\\
&&&&1\\
&&&&&\ddots\\
O&&&&&&1
\end{bmatrix}
\end{array}\\[0.7em]\\[0.7em]
S_{i,j} ~&=~
\begin{array}{cc}
&\begin{array}{ccccccc}1&\cdots&i&\cdots&j&\cdots&n\end{array} \\[0.7em]
\begin{array}{ccccccc}1\\\vdots\\[0.2em]i\\\vdots\\[0.2em]j\\[0.2em]\vdots\\[0.2em]n\end{array}&
\begin{bmatrix}
1&&&&&&O\\
&\ddots\\
&&0&\cdots&1\\
&&\vdots&\ddots&\vdots\\
&&1&\cdots&0\\
&&&&&\ddots\\
O&&&&&&1
\end{bmatrix}
\end{array}
\end{align*}
ただし，$c\neq 0$とし，基本変形と基本行列は以下のような対応になる。
- $P_{i,c}$を左から掛けると$i$行が$c$倍される
- $P_{i,c}$を右から掛けると$i$列が$c$倍される
- $Q_{i,j,c}$を左から掛けると$i$行が$c$倍されて$j$行に足される（$i<j$）
- $Q_{i,j,c}$を右から掛けると$j$列を$c$倍されて$i$列に足される（$i<j$）
- $R_{i,j,c}$を左から掛けると$j$行が$c$倍されて$i$行に足される（$j<i$）
- $R_{i,j,c}$を右から掛けると$i$列が$c$倍されて$j$列に足される（$j<i$）
- $S_{i,j}$を左から掛けると$i$行と$j$行が交換される
- $S_{i,j}$を右から掛けると$i$列と$j$列が交換される
$Q_{i,j,c}$と$R_{i,j,c}$は左から掛ける場合と右から掛ける場合で$i$と$j$が反転するので注意してください。
補足
具体例を用いて基本行列の確認をしましょう。以下の行列に対して基本行列による基本変形を施します。
\begin{align}
A &=
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{bmatrix}
\end{align}
A &=
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{bmatrix}
\end{align}
- $P_{i,c}$を左から掛けると$i$行が$c$倍される
-
\begin{align}
P_{2,3}A &=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
12 & 15 & 18 \\
7 & 8 & 9
\end{bmatrix}
\end{align} - $P_{i,c}$を右から掛けると$i$列が$c$倍される
-
\begin{align}
AP_{2,3} &=
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 6 & 3 \\
4 & 15 & 6 \\
7 & 24 & 9
\end{bmatrix}
\end{align} - $Q_{i,j,c}$を左から掛けると$i$行が$c$倍されて$j$行に足される（$i<j$）
-
\begin{align}
Q_{1,3,2}A &=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
2 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
9 & 12 & 15
\end{bmatrix}
\end{align} - $Q_{i,j,c}$を右から掛けると$j$列を$c$倍されて$i$列に足される（$i<j$）
-
\begin{align}
AQ_{1,3,2} &=
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
2 & 0 & 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
7 & 2 & 3 \\
16 & 5 & 6 \\
25 & 8 & 9
\end{bmatrix}
\end{align} - $R_{i,j,c}$を左から掛けると$j$行が$c$倍されて$i$行に足される（$j<i$）
-
\begin{align}
R_{3,1,2}A &=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
15 & 18 & 21 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{bmatrix}
\end{align} - $R_{i,j,c}$を右から掛けると$i$列が$c$倍されて$j$列に足される（$j<i$）
-
\begin{align}
AR_{3,1,2} &=
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 5 \\
4 & 5 & 14 \\
7 & 8 & 23
\end{bmatrix}
\end{align} - $S_{i,j}$を左から掛けると$i$行と$j$行が交換される
-
\begin{align}
S_{1,3}A &=
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
7 & 8 & 9 \\
4 & 5 & 6 \\
1 & 2 & 3
\end{bmatrix}
\end{align} - $S_{i,j}$を右から掛けると$i$列と$j$列が交換される
-
\begin{align}
AS_{1,3} &=
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
3 & 2 & 1 \\
6 & 5 & 4 \\
9 & 8 & 7
\end{bmatrix}
\end{align}
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