【徹底解説】行列の符号と首座主小行列

本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。

初学者の分かりやすさを優先するため,多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。

目次

行列の符号と首座主小行列

エルミート行列$A\in M_{n}(\mK)$と$k=1,\ldots,n$に対し,つぎが成り立つ。

  1. $A$が正定値$~\Leftrightarrow~$$k$次首座主小行列式がすべて正
  2. $A$が半正定値$~\Rightarrow~$$k$次首座主小行列式がすべて非負
  3. $A$が負定値$~\Leftrightarrow~$$k$次首座主小行列式がすべて負
  4. $A$が半負定値$~\Rightarrow~$$k$次首座主小行列式がすべて非正

ただし,$\mK$は複素数空間$\mC$または実数空間$\mR$を表し,$M_{n}(\mK)$は$\mK$上の$n$次エルミート行列全体の集合を表す。

半正定値と半負定値の場合は同値にならない点に十分注意して下さい。

証明

それぞれの命題について証明を行っていきます。

正定値⇔首座小行列式がすべて正

必要性と十分性を分けて証明します。

必要性の証明

首座小行列は主小行列に含まれますので,行列の符号と主小行列の必要性の証明をそのまま利用することができます。すなわち,「正定値⇒首座小行列式がすべて正」は既に示されています。

十分性の証明

行列の符号と主小行列の十分性の証明では,首座小行列式が正であるという仮定しか利用しませんでしたので,議論をそのまま利用することができます。すなわち,「首座小行列式がすべて正⇒正定値」は既に示されています。

半正定値⇒首座小行列式がすべて非負

首座小行列は主小行列に含まれますので,行列の符号と主小行列の必要性の証明をそのまま利用することができます。すなわち,$<$を$\leq$に,$>$を$\geq$に置き換えれば示すことができます。

一方,「首座主小行列式がすべて非負ならば半正定値」は成り立ちません。簡単な反例として,以下の行列$A$を考えましょう。

\begin{align}
A &=
\begin{bmatrix}
0 & 0\\
0 & -1
\end{bmatrix}
\end{align}

$A$の首座小行列式は

\begin{align}
\begin{vmatrix}
0
\end{vmatrix}=0,\quad
\begin{vmatrix}
0 & 0\\
0 & -1
\end{vmatrix}=0
\end{align}

となりますので,「すべての首座小行列式は非負」を満たします。一方,右下の$(2,2)$成分の主小行列式は$-1$となりますので,行列の符号と主小行列より$A$は半負定値になります。反例が存在することにより,「首座主小行列式がすべて非負ならば半正定値」が成り立たないことを示せました。

負定値⇔首座小行列式に-1のk乗を掛けたものがすべて負

必要性と十分性を分けて証明します。

必要性の証明

首座小行列は主小行列に含まれますので,行列の符号と主小行列の必要性の証明をそのまま利用することができます。すなわち,「負定値⇒首座小行列式がすべて負」は既に示されています。

十分性の証明

行列の符号と主小行列の十分性の証明では,$-A$の首座小行列式が正であるという仮定しか利用しませんでしたので,議論をそのまま利用することができます。すなわち,「首座小行列式がすべて負⇒負定値」は既に示されています。

半負定値⇒首座小行列式に-1のk乗を掛けたものがすべて非正

首座小行列は主小行列に含まれますので,行列の符号と主小行列の必要性の証明をそのまま利用することができます。すなわち,$<$を$\leq$に,$>$を$\geq$に置き換えれば示すことができます。

一方,「首座主小行列式がすべて非正ならば半負定値」は成り立ちません。簡単な反例として,以下の行列$A$を考えましょう。

\begin{align}
A &=
\begin{bmatrix}
0 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}
\end{align}

$A$の首座小行列式は

\begin{align}
\begin{vmatrix}
0
\end{vmatrix}=0,\quad
\begin{vmatrix}
0 & 0\\
0 & 1
\end{vmatrix}=0
\end{align}

となりますので,「すべての首座小行列式は非正」を満たします。一方,右下の$(2,2)$成分の主小行列式は$1$となりますので,行列の符号と主小行列より$A$は半正定値になります。反例が存在することにより,「首座主小行列式がすべて非正ならば半負定値」が成り立たないことを示せました。

以上より,すべての命題の証明が完了しました。

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