【徹底解説】対角化可能と同等な条件

$V$を$\mK$上の$n$次元ベクトル空間とし，$F$を$V$の線型変換とする。ただし，$\mK$は複素数空間$\mC$または実数空間$\mR$を表す。$V$の適当な基底$\beta=\{v_{1},\ldots,v_{n}\}$に関して，$F$が対角化可能であることと次の条件は同等である。

• $v_{1},\ldots,v_{n}$はすべて$F$の固有ベクトルである [証明]

加えて，$F$の固有多項式$f_{F}(x)$が$\mK$において

のように一次式の積に因数分解されるとする。ただし，$\alpha_{1},\ldots,\alpha_{s}$は$\mK$の相違なる元，$n_{1},\ldots,n_{s}$は正の整数で$n_{1}+\cdots+n_{s}=n$である。このとき，$F$が対角化可能であることと次の二つの条件は同等である。

• $V$は固有空間の直和，すなわち$V=W(\alpha_{1})\oplus\cdots\oplus W(\alpha_{s})$となる [証明]
• 各$i=1,\ldots,s$に対して，$\dim W(\alpha_{i})$は$\alpha_{i}$の重複度$n_{i}$に等しい [証明]