【徹底解説】対角化可能と同等な条件

本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。

初学者の分かりやすさを優先するため,多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。

目次

対角化可能と同等な条件

$V$を$\mK$上の$n$次元ベクトル空間とし,$F$を$V$の線型変換とする。ただし,$\mK$は複素数空間$\mC$または実数空間$\mR$を表す。$V$の適当な基底$\beta=\{v_{1},\ldots,v_{n}\}$に関して,$F$が対角化可能であることと次の条件は同等である。

  • $v_{1},\ldots,v_{n}$はすべて$F$の固有ベクトルである [証明]

加えて,$F$の固有多項式$f_{F}(x)$が$\mK$において

\begin{align}
f_{F}(x) &= (x-\alpha_{1})^{n_{1}}\cdots(x-\alpha_{s})^{n_{s}}
\end{align}

のように一次式の積に因数分解されるとする。ただし,$\alpha_{1},\ldots,\alpha_{s}$は$\mK$の相違なる元,$n_{1},\ldots,n_{s}$は正の整数で$n_{1}+\cdots+n_{s}=n$である。このとき,$F$が対角化可能であることと次の二つの条件は同等である。

  • $V$は固有空間の直和,すなわち$V=W(\alpha_{1})\oplus\cdots\oplus W(\alpha_{s})$となる [証明]
  • 各$i=1,\ldots,s$に対して,$\dim W(\alpha_{i})$は$\alpha_{i}$の重複度$n_{i}$に等しい [証明]

対角化可能性は行列の標準化に関する非常に重要なトピックです。

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