【徹底解説】行列の符号と同値な定義

本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。

初学者の分かりやすさを優先するため,多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。

目次

行列の符号と同値な定義

以下では,$\mK$は複素数空間$\mC$または実数空間$\mR$,$M_{n}(\mK)$は$\mK$上の$n$次正方行列全体の集合,$k=1,\ldots,n$とします。

正定値行列に対して

対称行列$A\in M_{n}(\mK)$が正定値行列であることと次の条件は同値である。

  1. 固有値がすべて正 [証明]
  2. 主小行列式がすべて正 [証明]
  3. 首座小行列式がすべて正 [証明]
  4. $A$は一次独立なベクトルで構成されるグラム行列 [証明]
  5. $A$はユニタリ行列により対角成分が正の対角行列に対角化可能 [証明]
  6. $A$は一意なコレスキー分解をもつ [証明]

半正定値行列に対して

対称行列$A\in M_{n}(\mK)$が半正定値行列であることと次の条件は同値である。

  1. 固有値がすべて非負 [証明]
  2. 主小行列式がすべて非負 [証明]
  3. $A$はグラム行列 [証明]
  4. $A$はユニタリ行列により対角成分が非負の対角行列に対角化可能 [証明]
  5. $A$は一意な固有値分解をもつ [証明]

さらに,以下が成り立つ。

  1. $A$が半正定値ならば首座小行列がすべて非負 [証明]

「首座小行列がすべて非負ならば$A$が半正定値」は成り立たないことに注意してください。

負定値行列に対して

対称行列$A\in M_{n}(\mK)$が負定値行列であることと次の条件は同値である。

  1. 固有値がすべて負 [証明]
  2. 主小行列式に$(-1)^{k}$を掛けたものがすべて負 [証明]
  3. 首座小行列式に$(-1)^{k}$を掛けたものがすべて負 [証明]

半負定値行列に対して

対称行列$A\in M_{n}(\mK)$が半負定値行列であることと次の条件は同値である。

  1. 固有値が非正 [証明]
  2. 主小行列式に$(-1)^{k}$を掛けたものがすべて非正 [証明]

さらに,以下が成り立つ。

  1. $A$が半負定値ならば首座小行列がすべて非正 [証明]

「首座小行列がすべて非正ならば$A$が半負定値」は成り立たないことに注意してください。

シェアはこちらからお願いします!
URLをコピーする
URLをコピーしました!

コメント

コメントする

※ Please enter your comments in Japanese to distinguish from spam.

目次
目次
閉じる