【徹底解説】行列の符号と対角化可能

2022年6月5日

本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。

初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。

行列の符号と対角化可能

エルミート行列$A\in M_{n}(\mK)$と$k=1,\ldots,n$に対し，つぎが成り立つ。

ただし，$\mK$は複素数空間$\mC$または実数空間$\mR$を表し，$M_{n}(\mK)$は$\mK$上の$n$次エルミート行列全体の集合を表す。

ユニタリ行列による対角化より，エルミート行列$A$は固有値を対角成分にもつ対角行列に対角化可能です。

\begin{align}
\begin{bmatrix}
\alpha_{1}&&\\
&\ddots&\\
&&\alpha_{n}
\end{bmatrix}
\end{align}

行列の符号と固有値の関係より，$A$が正定値ならば$\alpha_{1},\ldots,\alpha_{n}$はすべて正になり，$A$が半正定値ならばすべて非負になります。したがって，上の主張が示されました。

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