本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
拡大係数行列
$x_{1},\ldots,x_{n}$を未知数とする連立一次方程式
\begin{align}
\left\{
\begin{alignedat}{3}
a_{11}x_{1}&+\cdots&&+a_{1n}x_{n}&&=b_{1}\\[0.7em]
&&\vdots\\[0.7em]
a_{n1}x_{1}&+\cdots&&+a_{nn}x_{n}&&=b_{n}\\[0.7em]
\end{alignedat}
\right.
\end{align}
\left\{
\begin{alignedat}{3}
a_{11}x_{1}&+\cdots&&+a_{1n}x_{n}&&=b_{1}\\[0.7em]
&&\vdots\\[0.7em]
a_{n1}x_{1}&+\cdots&&+a_{nn}x_{n}&&=b_{n}\\[0.7em]
\end{alignedat}
\right.
\end{align}
は，
\begin{align}
A &=
\begin{bmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1n}\\
\vdots && \vdots\\
a_{n1} & \cdots & a_{nn}
\end{bmatrix},\quad
\vx =
\begin{bmatrix}
x_{1}\\
\vdots \\
x_{n}
\end{bmatrix},\quad
\vb =
\begin{bmatrix}
b_{1}\\
\vdots \\
b_{n}
\end{bmatrix}
\end{align}
A &=
\begin{bmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1n}\\
\vdots && \vdots\\
a_{n1} & \cdots & a_{nn}
\end{bmatrix},\quad
\vx =
\begin{bmatrix}
x_{1}\\
\vdots \\
x_{n}
\end{bmatrix},\quad
\vb =
\begin{bmatrix}
b_{1}\\
\vdots \\
b_{n}
\end{bmatrix}
\end{align}
と定義することにより次のように表すことができる。
\begin{align}
A\vx &= \vb
\end{align}
A\vx &= \vb
\end{align}
ただし，$A$は係数行列という。このとき，$[A,\vb]$で定義される行列
\begin{align}
\begin{bmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1n} & b_{1}\\
\vdots && \vdots & \vdots\\
a_{n1} & \cdots & a_{nn} & b_{n}
\end{bmatrix}
\end{align}
\begin{bmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1n} & b_{1}\\
\vdots && \vdots & \vdots\\
a_{n1} & \cdots & a_{nn} & b_{n}
\end{bmatrix}
\end{align}
を拡大係数行列という。
解の存在を記述する定理やGaussの消去法などで利用される行列です。
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