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【徹底解説】内積の公理

2022年4月29日

本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。

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初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。

目次

内積の公理

内積空間 $V$ の元 $u, u^{'}, v, c$ に対し，内積 $(u ∣ v)$ は内積の定義より以下を満たす。

$(u + u^{'} ∣ v) = (u ∣ v) + (u^{'} ∣ v)$
$(c u ∣ v) = \overset{―}{c} (u ∣ v)$
$(u ∣ v + v^{'}) = (u ∣ v) + (u ∣ v^{'})$
$(u ∣ c v) = c (u ∣ v)$
$(u ∣ v) = \overset{―}{(v ∣ u)}$
任意の $v$ に対して $(v ∣ v) \geq 0$
任意の $0$ でない $v$ に対して $(v ∣ v) > 0$

ただし， $\overset{―}{c}$ は複素共役を表す。

教養レベルの数学では内積の定義をすっ飛ばして内積の公理を認める立場を取ることが多いです。内積の定義に正定値を加えない場合は，内積の公理は上記とは異なります。

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