【徹底解説】部分空間の像の性質

zuka

こんにちは。
zuka(@beginaid)です。

本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。記事一覧はこちらの目次ページからご覧ください。

初学者の分かりやすさを優先するため,多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。

目次

部分空間の写像

$V,W$を有限次元ベクトル空間とし,$F:~V\rightarrow W$を線型写像とする。$V_{1}$が$V$の部分空間ならば,その$F$による像$F(V_{1})$は$W$の部分空間となる。

あくまでもイメージですが,$F$が$V$から$W$への写像として定義されているため,$V$の部分空間を定義域とする写像の終域は必ず$W$の部分空間になりそうですよね。

証明

$F(V_{1})$がベクトル空間$W$の部分空間の定義を満たすことを確認します。すなわち,

  • 加法に閉じている
  • スカラー倍に閉じている
  • ゼロベクトルを含む

を満たすことを確認します。まず,$w_{1},w_{2}\in F(V_{1})$に対し,像の定義から

\begin{align}
F(v_{1}) &= w_{1} \\[0.7em]
F(v_{2}) &= w_{2}
\end{align}

を満たす$v_{1},v_{2}\in V_{1}$が存在します。$F$は線型変換ですので,

\begin{align}
F(v_{1}+v_{2}) &= F(v_{1})+F(v_{2}) \\[0.7em]
&= w_{1}+w_{2}
\end{align}

が成り立ちます。ベクトル空間の部分空間の定義より,$v_{1}+v_{2}\in V_{1}$であることに注意すると,$w_{1}+w_{2}\in F(V_{1})$となります。同様に,$F$は線型変換ですので,任意の実数$c$に対して

\begin{align}
F(cv_{1}) &= cF(v_{1}) \\[0.7em]
&= cw_{1}
\end{align}

が成り立ちます。ベクトル空間の部分空間の定義より,$cv_{1}\in V_{1}$であることに注意すると,$cw_{1}\in F(V_{1})$となります。特に,$c=0$と置くと$\vzero \in F(V_{1})$となります。以上より,$F(V_{1})$がベクトル空間の部分空間の定義を満たすことを示せたため,$F(V_{1})$はベクトル空間$W$の部分空間となります。

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