【徹底解説】行列式の性質<行列式が0のケース>

zuka

こんにちは。
zuka(@beginaid)です。

本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。記事一覧はこちらの目次ページからご覧ください。

初学者の分かりやすさを優先するため,多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。

目次

行列式の性質<行列式が0のケース>

$n$次正方行列$A$の行列式$\det (A)$は以下の性質をもつ。

  • $\det (A)=0$ならば$n$個の列ベクトルが一次従属

行列式の性質一覧はこちらのページより確認できます。

証明

$n$個の列ベクトルが一次独立であるならば$\det (A)\neq 0$を示します。階数は一次独立な列ベクトルの最大個数でしたので,$\rank A=n$になります。このとき,正則と六つの同等な条件より,$\det (A)\neq 0$になります。したがって,対偶をとることにより,$\det (A)=0$ならば$n$個が示されました。

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