【徹底解説】正規変換の相異なる固有値と固有ベクトル

本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。

初学者の分かりやすさを優先するため,多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。

目次

正規変換の相異なる固有値と固有ベクトル

$V$を$\mK$上の$n$次元複素内積空間とし,$F$を$V$の正規変換とする。ただし,$\mK$は複素数空間$\mC$または実数空間$\mR$を表す。$\alpha_{1},\ldots,\alpha_{s}$を$F$の相異なる固有値の全体とし,$W(\alpha_{i})$を$\alpha_{i}$に対する$F$の固有空間とする。このとき,$V$は

\begin{align}
V &= W(\alpha_{i})\oplus\cdots\oplus W(\alpha_{s})
\end{align}

と直和分解される。また,$i\neq j$ならば$W(\alpha_{i})$の任意の元と$W(\alpha_{j})$の任意の元は直交する。すなわち,$W(\alpha_{i})$と$W(\alpha_{j})$は直交する。

行列の世界の言葉に翻訳すれば,複素対称行列の相異なる固有値に対する固有ベクトルは直交するということを意味しています。

証明

複素内積空間におけるテプリッツの定理より,正規変換$F$は対角化可能になります。すると,$\alpha_{i}$に対する$F$の固有空間を$W(\alpha_{i})$とすれば,対角化可能と固有空間の直和より$V$は

\begin{align}
V &= W(\alpha_{1})\oplus\cdots\oplus W(\alpha_{s})
\end{align}

と直和分解されます。すなわち,$i\neq j$ならば$W(\alpha_{i})$の任意の元と$W(\alpha_{j})$の任意の元は直交します。

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