本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
エルミート形式の符号
$V$を実数空間$\mR$または複素数空間$\mC$上のベクトル空間，$f$を$V$上のエルミート双一次形式とする。$f(v_{i},v_{i})=c_{i}$とし，$c_{i}>0,c_{i}=0,c_{i}<0$である$i$の個数をそれぞれ$p,q,s$とする。このとき，整数の組$(p,q)$をエルミート形式$f$の符号という。また，
- 符号が$(n,0)$であるならば$f$は正定値
- 符号が$(p,0)$であるならば$f$は半正定値
- 符号が$(0,n)$であるならば$f$は負定値
- 符号が$(0,q)$であるならば$f$は半負定値
であるという。
$p+q+s=n$より，符号から$s$の値も一意に定まる点に注意して下さい。また，正定値は正値/正，半正定値は半正値/半正，負定値は負値/負，半負定値は半負値/半負と呼ばれることもあります。
補足
以下のように定義される場合もあります。
$0$以外の全ての$V$の元$v$に対して，
- $f(v,v)>0$であるならば$f$は正定値
- $f(v,v)\geq 0$であるならば$f$は半正定値
- $f(v,v)<0$であるならば$f$は負定値
- $f(v,v)\leq 0$であるならば$f$は半負定値
コメント