【徹底解説】正則行列と線型変換

本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。

初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。

正則行列と線型変換

併せて正則と六つの同等な条件もおさえておきましょう。

証明

線型変換$L_{A}$が正則ならば，線型変換の正則の定義より$L_{A}$は逆変換をもち，その逆変換$L_{B}$の表現行列を$B$とします。すると，$L_{A}\circ L_{B}$と$L_{B}\circ L_{A}$は恒等変換となるから，

が成り立ちます。逆に，式($\ref{恒等}$)を満たす行列$B$が存在するならば，$L_{A}\circ L_{B}$と$L_{B}\circ L_{A}$は恒等変換となるから，$L_{A}$は正則となります。すると，正則と六つの同等な条件より，$A$が正則であることと式($\ref{恒等}$)を満たす行列$B$が存在することは同等ですので，$A$が正則であることと$A$によって定まる線型変換$L_{A}:~\mR^{n}\rightarrow\mR^{n}$は正則であることも同等になります。