【徹底解説】正則行列と線型変換

zuka

こんにちは。
zuka(@beginaid)です。

本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。記事一覧はこちらの目次ページからご覧ください。

初学者の分かりやすさを優先するため,多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。

目次

正則行列と線型変換

正方行列$A$が正則であることと,次の条件は互いに同等である。

  • $A$によって定まる線型変換$L_{A}:~\mR^{n}\rightarrow\mR^{n}$は正則である

併せて正則と六つの同等な条件もおさえておきましょう。

証明

線型変換$L_{A}$が正則ならば,線型変換の正則の定義より$L_{A}$は逆変換をもち,その逆変換$L_{B}$の表現行列を$B$とします。すると,$L_{A}\circ L_{B}$と$L_{B}\circ L_{A}$は恒等変換となるから,

\begin{alignat}{2}
AB &= BA &&= I_{n} \label{恒等}
\end{alignat}

が成り立ちます。逆に,式($\ref{恒等}$)を満たす行列$B$が存在するならば,$L_{A}\circ L_{B}$と$L_{B}\circ L_{A}$は恒等変換となるから,$L_{A}$は正則となります。すると,正則と六つの同等な条件より,$A$が正則であることと式($\ref{恒等}$)を満たす行列$B$が存在することは同等ですので,$A$が正則であることと$A$によって定まる線型変換$L_{A}:~\mR^{n}\rightarrow\mR^{n}$は正則であることも同等になります。

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