【徹底解説】行列の符号と固有値

本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。

初学者の分かりやすさを優先するため,多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。

目次

行列の符号と固有値

エルミート行列$A\in M_{n}(\mK)$に対し,つぎが成り立つ。

  1. $A$が正定値$~\Leftrightarrow~$すべての固有値が正
  2. $A$が半正定値$~\Leftrightarrow~$すべての固有値が非負
  3. $A$が負定値$~\Leftrightarrow~$すべての固有値が負
  4. $A$が半負定値$~\Leftrightarrow~$すべての固有値が非正

ただし,$\mK$は複素数空間$\mC$または実数空間$\mR$を表し,$M_{n}(\mK)$は$\mK$上の$n$次エルミート行列全体の集合とする。

いずれのケースにも当てはまらない場合は$A$は不定値となります。

証明

$A$の固有値を$\alpha_{1},\ldots,\alpha_{n}$,それらに対応する固有ベクトルを$\vx_{1},\ldots,\vx_{n}$とすると,行列の符号の定義より行列の符号はエルミート形式

\begin{align}
\overline{\vx}^{T}A\vx = \overline{\vx}^{T}(\alpha_{i}\vx) = \alpha_{i}\|\vx\|^{2}
\end{align}

によって定められます。固有ベクトルの定義より$\vx\neq 0$であることから$\|\vx\|^{2}{>}0$となることに注意すると,行列$A$の符号は$\alpha_{i}$によって定められることが分かりました。すなわち,上の主張が示されました。

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