本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
線型写像の一意性
$V,W$をベクトル空間とし，$V$の次元を$n$とする。$\{v_{1},\ldots,v_{n}\}$を$V$の一つの基底とし，$w_{1},\ldots,w_{n}$を$W$の任意の元とする。このとき，
F(v_{1})=w_{1},\quad F(v_{2})=w_{2},\quad \cdots\quad F(v_{n})=w_{n} \label{主題1}
\end{align}
を満たすような$V$から$W$への線形写像$F$はただ一つ存在し，それは
F(a_{1}v_{1}+\cdots+a_{n}v_{n}) &= a_{1}w_{1}+\cdots+a_{n}w_{n} \label{主題2}
\end{align}
によって定義される。ただし，$a_{1},\ldots,a_{n}$は実数とする。
線型写像$F$は，基底を構成する要素の像を与えれば一意的に定まることを意味しています。
証明
基底の一次結合の一意性より，$V$の任意の元$v$は以下のように一意的に表されます。
v &= a_{1}v_{1}+\cdots+a_{n}v_{n}
\end{align}
まずは，$F(v)$の一意性から示します。線型写像の性質より，式($\ref{主題1}$)を満たす$F$が存在するならば
F(v) &= F(a_{1}v_{1}+\cdots+a_{n}v_{n}) \\[0.7em]
&= a_{1}F(v_{1})+\cdots+a_{n}F(v_{n}) \\[0.7em]
&= a_{1}w_{1}+\cdots+a_{n}w_{n}
\end{align}
が成り立ちます。したがって，式($\ref{主題1}$)を満たす$F$が存在するならば，$F(v)$は一意的であることが示されました。次に，$F(v)$の存在を示します。いま，写像$F$を
F(v) &= a_{1}w_{1}+\cdots+a_{n}w_{n} \label{定義}
\end{align}
と定義したとします。このとき，$v$は$V$の基底の一次結合で表されているため，定義域は$V$となります。また，$w_{1},\ldots,w_{n}$は$W$の任意の元であるため，終域は$W$となります。すなわち，$F$は$V$から$W$への写像となります。このとき，$F$が線型写像であることを示せば，$F(v)$の存在を示すことができます。
基底の一次結合の一意性より，$v^{\prime}\in V$は実数$b_{1},\ldots,b_{n}$を用いて
v^{\prime} &= b_{1}v_{1}+\cdots+b_{n}v_{n}
\end{align}
と表されます。このとき，
v+v^{\prime} &= (a_{1}+b_{1})v_{1}+\cdots+(a_{n}+b_{n})v_{n} \label{和}
\end{align}
となります。ここで，式($\ref{和}$)と$F$の定義($\ref{定義}$)より，
F(v+v^{\prime}) &= (a_{1}+b_{1})w_{1}+\cdots+(a_{n}+b_{n})w_{n} \\[0.7em]
&= (a_{1}w_{1}+\cdots+a_{n}w_{n})+(b_{1}w_{1}+\cdots+b_{n}w_{n}) \\[0.7em]
&= F(v)+F(v^{\prime}) \label{線型性1}
\end{align}
が成り立ちます。同様に，$F$定義($\ref{定義}$)より，実数$c$に対して
F(cv) &= (ca_{1})w_{1}+\cdots+(ca_{n})w_{n} \\[0.7em]
&= c(a_{1}w_{1}+\cdots+a_{n}w_{n})\\[0.7em]
&= cF(v)\label{線型性2}
\end{align}
が成り立ちます。式($\ref{線型性1}$)，式($\ref{線型性2}$)と線形写像の定義より，$F$は線型写像になります。以上より，$F$の存在を示すことができました。
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