本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
行列式の性質＜列のスカラー倍の加算＞
$n$次正方行列$A$の行列式$\det (A)$は以下の性質をもつ。
- 第$i$列に第$j$列の$c$倍を加えた行列$A^{\prime}$に対し$\det (A^{\prime})=\det (A)$
行列式の性質一覧はこちらのページより確認できます。
証明
行列式写像の$n$重線形性と交代性より，行列$A^{\prime}$の行列式は
\begin{align}
\det (\va_{1},\ldots,\va_{i}+c\va_{j},\ldots,\va_{j},\ldots,\va_{n})
&= \det (\va_{1},\ldots,\va_{i},\ldots,\va_{j},\ldots,\va_{n}) \notag\\[0.7em]
&+ c\det (\va_{1},\ldots,\va_{j},\ldots,\va_{j},\ldots,\va_{n}) \\[0.7em]
&= \det (\va_{1},\ldots,\va_{i},\ldots,\va_{j},\ldots,\va_{n}) \\[0.7em]
&= \det (A)
\end{align}
\det (\va_{1},\ldots,\va_{i}+c\va_{j},\ldots,\va_{j},\ldots,\va_{n})
&= \det (\va_{1},\ldots,\va_{i},\ldots,\va_{j},\ldots,\va_{n}) \notag\\[0.7em]
&+ c\det (\va_{1},\ldots,\va_{j},\ldots,\va_{j},\ldots,\va_{n}) \\[0.7em]
&= \det (\va_{1},\ldots,\va_{i},\ldots,\va_{j},\ldots,\va_{n}) \\[0.7em]
&= \det (A)
\end{align}
となります。
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