【徹底解説】実対称行列の性質<対角化可能>
本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。
初学者の分かりやすさを優先するため,多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
実対称行列の性質<対角化可能>
併せて実対称行列の性質もおさえましょう。
証明
実内積空間におけるテプリッツの定理を行列の用語で翻訳すると,以下のようになります。
次の実行列が直交行列によって対角化されるための必要十分条件は,が対称行列であることである。
これは上の主張に他なりません。
補足
実内積空間におけるテプリッツの定理において「がの適当な正規直交基底に関して対角行列で表現される」という部分を考えてみます。これは,「ある正規直交基底を然るべき正規直交基底にとりかえると,その表現行列は対角行列になる」ということを表しています。正規直交基底同士の基底変換行列は直交基底になりますので,行列の相似と表現行列より,のに関する表現行列の基底をにとりかえた表現行列は
と表されます。したがって,実内積空間におけるテプリッツの定理というのは「式()が対角行列になるための必要十分条件はが対称行列であること」を主張しています。これはすなわち,上の主張に他なりません。
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