【徹底解説】実対称行列の性質＜対角化可能＞

本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。

初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。

実対称行列の性質＜対角化可能＞

併せて実対称行列の性質もおさえましょう。

証明

実内積空間におけるテプリッツの定理を行列の用語で翻訳すると，以下のようになります。

$n$次の実行列$A$が直交行列によって対角化されるための必要十分条件は，$A$が対称行列であることである。

これは上の主張に他なりません。

補足

実内積空間におけるテプリッツの定理において「$F$が$V$の適当な正規直交基底に関して対角行列で表現される」という部分を考えてみます。これは，「ある正規直交基底$\alpha$を然るべき正規直交基底$\alpha^{\prime}$にとりかえると，その表現行列は対角行列になる」ということを表しています。正規直交基底同士の基底変換行列は直交基底になりますので，行列の相似と表現行列より，$F$の$\alpha$に関する表現行列$A$の基底を$\alpha^{\prime}$にとりかえた表現行列は

と表されます。したがって，実内積空間におけるテプリッツの定理というのは「式($\ref{基底のとりかえ}$)が対角行列になるための必要十分条件は$A$が対称行列であること」を主張しています。これはすなわち，上の主張に他なりません。