【徹底解説】実対称行列の性質<対角化可能>

本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。

初学者の分かりやすさを優先するため,多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。

実対称行列の性質<対角化可能>

n次元実対称行列Aは以下の性質をもつ。

  • 直交行列によって対角化可能である

併せて実対称行列の性質もおさえましょう。

証明

実内積空間におけるテプリッツの定理を行列の用語で翻訳すると,以下のようになります。

n次の実行列Aが直交行列によって対角化されるための必要十分条件は,Aが対称行列であることである。

これは上の主張に他なりません。

補足

実内積空間におけるテプリッツの定理において「FVの適当な正規直交基底に関して対角行列で表現される」という部分を考えてみます。これは,「ある正規直交基底αを然るべき正規直交基底αにとりかえると,その表現行列は対角行列になる」ということを表しています。正規直交基底同士の基底変換行列は直交基底になりますので,行列の相似と表現行列より,Fαに関する表現行列Aの基底をαにとりかえた表現行列は

(1)U1AU=UTAU

と表されます。したがって,実内積空間におけるテプリッツの定理というのは「式(1)が対角行列になるための必要十分条件はAが対称行列であること」を主張しています。これはすなわち,上の主張に他なりません。

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