【徹底解説】極形式の一意性

本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。

初学者の分かりやすさを優先するため,多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。

目次

極形式の一意性

$V$を$n$次元内積空間,$g$を$V$上のエルミート形式とする。このとき,$g$の極形式$f$は一意に定まる。

エルミート形式$g$とその極形式は一対一対応するという定理です。

証明

まずは,$g$が二次形式である場合を考えます。$f$は対称双一次形式でもありますので,

\begin{align}
f(u+v,u+v) &= f(u,u)+f(u,v)+f(v,u)+f(v,v)\\[0.7em]
&= f(u,u)+2f(u,v)+f(v,v)
\end{align}

が成り立ちます。これを変形すると,

\begin{align}
f(u,v) &= \frac{1}{2}\left\{f(u+v,u+v)-f(u,u)-f(v,v)\right\}\\[0.7em]
&= \frac{1}{2}\left\{g(u+v)-g(u)-g(v)\right\}
\end{align}

が得られます。これにより,$f$は$g$から一意的に定めることができます。続いて,$g$が二次形式である場合を考えます。$f$はエルミート双一次形式でもありますので,

\begin{align}
f(u+v,u+v) &= f(u,u)+f(u,v)+f(v,u)+f(v,v)\\[0.7em]
&= f(u,u)+f(u,v)+\overline{f(u,v)}+f(v,v)\\[0.7em]
&= f(u,u)+2\Re f(u,v)+f(v,v)
\end{align}

が成り立ちます。ただし,$\Re f$は$f$の実部を表します。これを変形すると,

\begin{align}
\Re f(u,v) &= \frac{1}{2}\left\{f(u+v,u+v)-f(u,u)-f(v,v)\right\}\\[0.7em]
&= \frac{1}{2}\left\{g(u+v)-g(u)-g(v)\right\}
\end{align}

が得られます。これにより,$f$の実部は$g$から一意的に定めることができることが分かりました。続いて,$f$の虚部を$g$から一意的に定めることができることを示します。いま,

\begin{align}
f(iu,v) = \oi f(u,v) = -if(u,v)
\end{align}

となります。$f(u,v)$の$-i$倍の実部は$f(u,v)$の虚部になりますので,

\begin{align}
\Re f(iu,v) &= \Im f(u,v)
\end{align}

が成り立ちます。したがって,$f$の虚部は

\begin{align}
\Im f(u,v) &= \frac{1}{2}\left\{g(iu+v)-g(iu)-g(v)\right\}
\end{align}

により一意的に定めることができます。

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