【徹底解説】標準内積の定義

zuka

こんにちは。
zuka(@beginaid)です。

本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。記事一覧はこちらの目次ページからご覧ください。

初学者の分かりやすさを優先するため,多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。

目次

標準内積

$\mK$は実数空間$\mR$または複素数空間$\mC$を表す。$\mK$の元$\vx=[x_1,\ldots,x_{n}]^{T}$,$\vy=[y_1,\ldots,y_{n}]^{T}$に対し,

\begin{align}
\vphi(\vx,\vy) &= \sum_{i=1}^{n}\ox_{i}y_i
\end{align}

と置けば,$\vphi:~\mK^{n}\times \mK^{n}\rightarrow \mK$は$\mK^{n}$上の一つの内積となる。ただし,$\ox$は複素共役を表す。この$\vphi$を$\mK^{n}$上の標準内積といい,$(\vx\mid\vy)$と表す。

$\mK=\mR$の場合,標準内積は高校数学で定義された内積に一致します。一方で,$\mK=\mC$の場合は高校数学で定義された内積は標準内積と一致しないため注意が必要です。

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