【徹底解説】行列式の置換を用いた表現

zuka

こんにちは。
zuka(@beginaid)です。

本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。記事一覧はこちらの目次ページからご覧ください。

初学者の分かりやすさを優先するため,多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。

目次

行列式の置換を用いた表現

$n$文字の集合$\{1,\ldots,n\}$を$J_{n}$とし,$J_{n}$の$n!$個の置換$\sigma$全体の集合を$S_{n}$で表す。このとき,$n$次正方行列$A$の行列式写像の像である行列式は一意に定まり,以下のように表される。

\begin{align}
\det (A) &= \sum_{\sigma \in S_{n}}\sgn (\sigma) \prod_{i=1}^{n}a_{\sigma(i),i}\label{主題}
\end{align}

ただし,$\sgn(\cdot)$は符号を表す。

多くの線型代数の教科書では,式($\ref{主題}$)を行列式の定義として与えますが,行列式を行列式写像の像として定義する方法では,式($\ref{主題}$)はあくまでも定義の結果として導かれます。

証明

準備中です。

シェアはこちらからお願いします!
URLをコピーする
URLをコピーしました!

コメント

コメントする

※スパム対策のためコメントは日本語で入力してください。

目次
目次
閉じる