本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
行列式の置換を用いた表現
$n$文字の集合$\{1,\ldots,n\}$を$J_{n}$とし，$J_{n}$の$n!$個の置換$\sigma$全体の集合を$S_{n}$で表す。このとき，$n$次正方行列$A$の行列式写像の像である行列式は一意に定まり，以下のように表される。
\begin{align}
\det (A) &= \sum_{\sigma \in S_{n}}\sgn (\sigma) \prod_{i=1}^{n}a_{\sigma(i),i}\label{主題}
\end{align}
\det (A) &= \sum_{\sigma \in S_{n}}\sgn (\sigma) \prod_{i=1}^{n}a_{\sigma(i),i}\label{主題}
\end{align}
ただし，$\sgn(\cdot)$は符号を表す。
多くの線型代数の教科書では，式($\ref{主題}$)を行列式の定義として与えますが，行列式を行列式写像の像として定義する方法では，式($\ref{主題}$)はあくまでも定義の結果として導かれます。
証明
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