【徹底解説】行列の相似と表現行列

2022年5月23日

本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。

初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。

行列の相似と表現行列

$A$ を $n$ 次正方行列とし， $α = {p_{1}, \dots, p_{n}}$ を $K^{n}$ の一つの基底とする。ただし， $K$ は複素数空間 $C$ または実数空間 $R$ を表す。このとき， $p_{1}, \dots, p_{n}$ を列ベクトルとする $n$ 次正則行列を

\begin{aligned} (1) & P & = (p_{1}, \dots, p_{n}) \end{aligned}

とすれば， $L_{A} : K^{n} \to K^{n}$ の $α$ に関する表現行列は

\begin{aligned} (2) & [L_{A}]_{α} & = P^{- 1} A P \end{aligned}

である。すなわち， $[L_{A}]_{α}$ は $A$ に相似である。

対角化などで利用される定理です。

証明

$P = (p_{i j})$ とし， $K^{n}$ の標準基底を $ε = {e_{1}, \dots, e_{n}}$ すれば，

\begin{aligned} (3) & p_{j} & = \sum_{i = 1}^{n} p_{i j} e_{i} \end{aligned}

が成り立ちます。ゆえに，基底変換行列の定義において， $α$ を $ε$ ， $α^{'}$ を $α$ に置き換えることにより，

\begin{aligned} (4) & P & = T_{ε \to α} \end{aligned}

が成り立ちます。したがって，同様に行列の相似と基底変換行列において， $α$ を $ε$ ， $α^{'}$ を $α$ に置き換えると，上の主張が示されます。

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