【徹底解説】行列の相似と表現行列

本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。

初学者の分かりやすさを優先するため,多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。

目次

行列の相似と表現行列

$A$を$n$次正方行列とし,$\alpha{=}\{\vp_{1},\ldots,\vp_{n}\}$を$\mK^{n}$の一つの基底とする。ただし,$\mK$は複素数空間$\mC$または実数空間$\mR$を表す。このとき,$\vp_{1},\ldots,\vp_{n}$を列ベクトルとする$n$次正則行列を

\begin{align}
P &= (\vp_{1},\ldots,\vp_{n})
\end{align}

とすれば,$L_{A}:\mK^{n}\rightarrow\mK^{n}$の$\alpha$に関する表現行列は

\begin{align}
[L_{A}]_{\alpha} &= P^{-1}AP
\end{align}

である。すなわち,$[L_{A}]_{\alpha}$は$A$に相似である。

対角化などで利用される定理です。

証明

$P=(p_{ij})$とし,$\mK^{n}$の標準基底を$\varepsilon=\{\ve_{1},\ldots,\ve_{n}\}$すれば,

\begin{align}
\vp_{j} &= \sum_{i=1}^{n}p_{ij}\ve_{i}
\end{align}

が成り立ちます。ゆえに,基底変換行列の定義において,$\alpha$を$\varepsilon$,$\alpha^{\prime}$を$\alpha$に置き換えることにより,

\begin{align}
P &= \mT_{\varepsilon\rightarrow\alpha}
\end{align}

が成り立ちます。したがって,同様に行列の相似と基底変換行列において,$\alpha$を$\varepsilon$,$\alpha^{\prime}$を$\alpha$に置き換えると,上の主張が示されます。

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