本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
行列の相似と表現行列
$A$を$n$次正方行列とし，$\alpha{=}\{\vp_{1},\ldots,\vp_{n}\}$を$\mK^{n}$の一つの基底とする。ただし，$\mK$は複素数空間$\mC$または実数空間$\mR$を表す。このとき，$\vp_{1},\ldots,\vp_{n}$を列ベクトルとする$n$次正則行列を
\begin{align}
P &= (\vp_{1},\ldots,\vp_{n})
\end{align}
P &= (\vp_{1},\ldots,\vp_{n})
\end{align}
とすれば，$L_{A}:\mK^{n}\rightarrow\mK^{n}$の$\alpha$に関する表現行列は
\begin{align}
[L_{A}]_{\alpha} &= P^{-1}AP
\end{align}
[L_{A}]_{\alpha} &= P^{-1}AP
\end{align}
である。すなわち，$[L_{A}]_{\alpha}$は$A$に相似である。
対角化などで利用される定理です。
証明
$P=(p_{ij})$とし，$\mK^{n}$の標準基底を$\varepsilon=\{\ve_{1},\ldots,\ve_{n}\}$すれば，
\begin{align}
\vp_{j} &= \sum_{i=1}^{n}p_{ij}\ve_{i}
\end{align}
\vp_{j} &= \sum_{i=1}^{n}p_{ij}\ve_{i}
\end{align}
が成り立ちます。ゆえに，基底変換行列の定義において，$\alpha$を$\varepsilon$，$\alpha^{\prime}$を$\alpha$に置き換えることにより，
\begin{align}
P &= \mT_{\varepsilon\rightarrow\alpha}
\end{align}
P &= \mT_{\varepsilon\rightarrow\alpha}
\end{align}
が成り立ちます。したがって，同様に行列の相似と基底変換行列において，$\alpha$を$\varepsilon$，$\alpha^{\prime}$を$\alpha$に置き換えると，上の主張が示されます。
コメント