【徹底解説】群の定義

zuka

こんにちは。
zuka(@beginaid)です。

本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。記事一覧はこちらの目次ページからご覧ください。

初学者の分かりやすさを優先するため,多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。

目次

以下の四つの公理を満たす集合$G$を群という。ただし,$\varepsilon$は恒等置換を表す。

  1. 合成写像に関して閉じている

任意の$\sigma,\tau\in G$に対して$\sigma\circ\tau\in G$

  1. 結合法則が成り立つ

任意の$\sigma,\tau,\rho\in G$に対して$(\rho\tau)\sigma=\rho(\tau\sigma)$

  1. 単位元が存在する

任意の$\sigma\in G$に対して$\sigma\varepsilon=\varepsilon\sigma=\sigma$

  1. 逆元が存在する

任意の$\sigma\in G$に対して$\sigma^{-1}\sigma=\sigma\sigma^{-1}=\varepsilon$

入門レベルの線型代数では群論まで立ち入る必要はありませんが,行列式の性質を証明する際に群の性質を利用する必要があります。

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