【徹底解説】正規直交系の拡大

zuka

こんにちは。
zuka(@beginaid)です。

本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。記事一覧はこちらの目次ページからご覧ください。

初学者の分かりやすさを優先するため,多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。

目次

正規直交系の拡大

$V$を$n$次元内積空間とする。$v_{1},\ldots,v_{r}$が$V$の正規直交系であるならば,これを拡大した$V$の正規直交基底$\{v_{1},\ldots,v_{r},\ldots,v_{n}\}$が存在する。

一次独立な元の集合と基底を内積空間に適用した定理といえます。

証明

$v_{1},\ldots,v_{r}$は$V$の正規直交系ですので,一次独立になります。一次独立な元の集合と基底より,一次独立な元の集合$\{v_{1},\ldots,v_{r}\}$を$V$の基底$\{v_{1},\ldots,v_{r},w_{r+1}\ldots,w_{n}\}$を作ることができます。これをグラム・シュミットの正規直交化法により正規直交基底にすることで,$V$の正規直交基底$\{v_{1},\ldots,v_{r},\ldots,v_{n}\}$を作ることができます。

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