本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
正則行列と自明な解
正方行列$A$が正則であることと，次の条件は互いに同等である。
- 一次方程式$A\vx =0$は自明な解しかもたない
併せて正則と六つの同等な条件もおさえておきましょう。
証明
連立一次方程式
\begin{align}
A\vx &= 0 \label{連立}
\end{align}
A\vx &= 0 \label{連立}
\end{align}
を考えます。$A$が正則であるならば逆行列$A^{-1}$が存在しますので，式($\ref{連立}$)の左から$A^{-1}$を掛けることにより，$\vx=0$が得られます。すなわち，式($\ref{連立}$)は自明な解しかもたないことが示されました。逆に，式($\ref{連立}$)は自明な解しかもたないとき，$\vx=(x_{1},\ldots,x_{n})$，$A$の列ベクトルを$\va_{1},\ldots.\va_{n}$とおくと，
\begin{align}
\sum_{i=1}^{n}x_{i}\va_{i} &= 0
\end{align}
\sum_{i=1}^{n}x_{i}\va_{i} &= 0
\end{align}
を満たす実数$x_{1},\ldots,x_{n}$はすべて$0$になります。すなわち，$\va_{1},\ldots,\va_{n}$は一次独立になります。ここで，行列の階数は$A$の列ベクトルのうち一次独立な列ベクトルの最大個数ですので，$\rank A=n$となります。正則と六つの同等な条件より，$\rank A=n$と行列$A$が正則であることは同等でしたので，式($\ref{連立}$)は自明な解しかもたないことと行列$A$が正則であることは同等になります。
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