【徹底解説】行列式の余因子展開

zuka

こんにちは。
zuka(@beginaid)です。

本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。記事一覧はこちらの目次ページからご覧ください。

初学者の分かりやすさを優先するため,多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。

目次

行列式の余因子展開

$n$次正方行列$A$の$(i,j)$成分を$a_{ij}$とする。$A$の第$i$列と第$j$行をとり除いた$n-1$次の行列を$A_{ij}$とし,$(i,j)$余因子を$\Delta_{ij}$と表すとき,以下が成り立つ。

\begin{alignat}{3}
\det (A) &= \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j}a_{ij}\det (A_{ij}) &&= \sum_{j=1}^{n} a_{ij}\Delta_{ij}\label{行}\\[0.7em]
\det (A) &= \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j}a_{ij}\det (A_{ij}) &&= \sum_{i=1}^{n} a_{ij}\Delta_{ij}\label{列}
\end{alignat}

ただし,式(\ref{行})の$i$と式(\ref{列})の$j$はそれぞれ任意に固定された一つの整数とする。

式(\ref{行})は第$i$行に関する余因子展開,式(\ref{列})を第$j$列に関する余因子展開とよばれます。

証明

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