本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
LU分解の一意性
正方行列$A\in M_{n}(\mK)$に対し，下三角行列$L$と上三角行列$U$を用いた次の$LU$分解を考える。
A &= LU
\end{align}
ただし，$\mK$は複素数空間$\mC$または実数空間$\mR$を表し，$M_{n}(\mK)$は$\mK$上の$n$次行列全体の集合を表す。このとき，$L$の対角成分がすべて$1$，または$U$の対角成分がすべて$1$ならば$LU$分解は一意に定まる。
$L$か$U$の対角成分を$1$に限定することで$LU$分解が定まるイメージです。
証明
LU分解の求め方で示した通り，$L$と$U$は基本変形行列の積で表されます。ゆえに，正則である基本変形行列の積は正則になりますので，$L$と$U$は正則になります。ここで，仮に
A &= L_{1}U_{1} = L_{2}U_{2}
\end{align}
を満たす下三角行列$L_{1},L_{2}$と上三角行列$U_{1},U_{2}$が存在し，$L_{1}$と$L_{2}$の対角成分が$1$であるとします。すると，左から$L_{2}^{-1}$，右から$U_{1}^{-1}$を掛けることにより，
L_{2}^{-1}L_{1} &=U_{2}U_{1}^{-1}\label{仮定}
\end{align}
が成り立ちます。対角成分が$1$の下三角行列の積もまた対角成分が$1$の下三角行列であることから，$L_{2}^{-1}L_{1}$は対角成分が$1$の下三角行列になります。一方，上三角行列と上三角行列の積もまた上三角行列であることから，$U_{2}U_{1}^{-1}$は上三角行列になります。したがって，式($\ref{仮定}$)より対角成分が$1$の下三角行列と上三角行列が等しいことになりますので，結局
L_{2}^{-1}L_{1} &=U_{2}U_{1}^{-1} = I_{n} \label{結論前}
\end{align}
が成り立ちます。ただし，$I_{n}$は$n$次元単位行列を表します。式($\ref{結論前}$)を変形することにより，
L_{1} &= L_{2},\quad U_{1} = U_{2}\label{結論}
\end{align}
が得られます。$U$の対角成分が$1$のときも，まったく同様の手続きによって式($\ref{結論}$)を得ることができます。したがって，$L$の対角成分がすべて$1$，または$U$の対角成分がすべて$1$ならば$LU$分解は一意に定まることが示されました。
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