【徹底解説】ブロック行列の行列式

zuka

こんにちは。
zuka(@beginaid)です。

本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。記事一覧はこちらの目次ページからご覧ください。

初学者の分かりやすさを優先するため,多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。

目次

ブロック行列の行列式

以下のように区分けされた行列,すなわちブロック行列を考える。

\begin{align}
T &=
\begin{bmatrix}
A & B \\[0.7em]
C & D
\end{bmatrix}\label{行列}
\end{align}

ただし,$A$と$D$は正方行列とします。$A$が正則なとき,

\begin{align}
\det(T) &= \det(A)\cdot\det(D-CA^{-1}B)\label{主題1}
\end{align}

となり,$D$が正則なとき,

\begin{align}
\det(T) &= \det(D)\cdot\det(A-BD^{-1}C)\label{主題2}
\end{align}

となる。

帰納法を用いる際に$n-1$までの部分とそれ以外の部分を区分けした際などに利用される公式です。

証明

区分けされた三角行列の行列式を使うため,式($\ref{行列}$)に三角行列を掛けて三角行列を作ります。$A$を$m$次正方行列,$D$を$n$次正方行列とすると,やや天下り的ですが以下の等式が成り立ちます。

\begin{align}
\begin{bmatrix}
A & B \\[0.7em]
C & D
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
I_{m} & -A^{-1}B \\[0.7em]
O & I_{n}
\end{bmatrix}
&=
\begin{bmatrix}
A & O \\[0.7em]
C & D-CA^{-1}B
\end{bmatrix}
\end{align}

ただし,$I_{m}$は$m$次元単位行列,$I_{n}$は$n$次元単位行列を表します。したがって,区分けされた三角行列の行列式積の行列式に基づいて両辺の行列式を考えると,

\begin{align}
\det(T)\cdot \det(I_{m})\cdot \det(I_{n}) &= \det(A)\cdot\det(D-CA^{-1}B)
\end{align}

が得られます。単位行列の行列式が$1$であることから,式($\ref{主題1}$)が示されます。同様に,

\begin{align}
\begin{bmatrix}
A & B \\[0.7em]
C & D
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
I_{m} & O \\[0.7em]
-D^{-1}C & I_{n}
\end{bmatrix}
&=
\begin{bmatrix}
A-BD^{-1}C & B \\[0.7em]
O & D
\end{bmatrix}
\end{align}

の両辺の行列式を考えることにより,

\begin{align}
\det(T)\cdot \det(I_{m})\cdot \det(I_{n}) &= \det(A-BD^{-1}C)\cdot\det(D)
\end{align}

が成り立ちますので,式($\ref{主題2}$)が示されました。

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