本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
行列積の転置
$(l,m)$サイズの行列$A$，$(m,n)$サイズの行列$B$に対し，次が成り立つ。
\begin{align}
(AB)^{T} &= B^{T}A^{T}\label{主題}
\end{align}
(AB)^{T} &= B^{T}A^{T}\label{主題}
\end{align}
行列の要素は複素数でも成り立ちます。
証明
$A=(a_{ij})$のサイズは$(l,m)$，$B=(b_{ij})$のサイズは$(m,n)$であることから，積$AB$は定義され，サイズは$(l,n)$となります。同様に，積$B^{T}A^{T}$も定義され，サイズは$(n,l)$となります。行列積の定義から，$B^{T}A^{T}$の$(i,k)$成分は$\sum_{j=1}^{m}b_{ij}a_{kj}$となります。これは，$AB$の$(k,i)$成分，すなわち$(AB)^{T}$の$(i,k)$成分に他なりませんので，式($\ref{主題}$)が示されました。
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