【徹底解説】行列の階数と一次独立なベクトルの個数

zuka

こんにちは。
zuka(@beginaid)です。

本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。記事一覧はこちらの目次ページからご覧ください。

初学者の分かりやすさを優先するため,多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。

目次

行列の階数と一次独立なベクトルの個数

$A$の列階数は$A$の一次独立な列ベクトルの最大個数を表し,$A$の行階数は$A$の一次独立な行ベクトルの最大個数を表す。

本質的にはベクトル空間と基底の最大個数の話に繋がります。

証明

まず,列ベクトルによって貼られる空間が$\mR^{m}$の部分空間であることを示します。そのために,$\mR^{n}$から$\mR^{m}$への線型写像$L_{A}$とおき,$\vx\in\mR^{n}$の$L_{A}$による像を調べましょう。$\vx$を$\mR^{n}$の標準基底$\{\ve_{1},\ldots,\ve_{n}\}$で表すと,

\begin{align}
\vx &= \sum_{j=1}^{n}x_{i}\ve_{i}
\end{align}

となります。線形写像と行列の関係より,

\begin{align}
L_{A}(\vx)
&= \sum_{i=1}^{n}x_{i}L_{A}(\ve_{j}) \\[0.7em]
&= \sum_{i=1}^{n}x_{i}\va_{j}
\end{align}

が成り立ちます。部分空間の像の性質より,$\vx$の$L_{A}$による像は$\va_{1},\ldots,\va_{n}$によって張られる$\mR^{m}$の部分空間になっています。いま,$\va_{1},\ldots,\va_{n}$のうち一次独立であるものの最大個数を$r$とすると,ベクトル空間と基底の最大個数の証明と同様にすることで,$\va_{1},\ldots,\va_{n}$で張られる空間の基底は$r$個の元から構成されることが分かります。すなわち,基底の定義より

\begin{align}
\dim \langle\va_{1},\ldots,\va_{n}\rangle &= r
\end{align}

となります。一方,定義より$\va_{1},\ldots,\va_{n}$で張られる空間の次元数が列階数となります。すなわち,列階数は

\begin{align}
\dim \langle\va_{1},\ldots,\va_{n}\rangle
\end{align}

で表されます。以上より,列階数は$A$の一次独立な列ベクトルの最大個数$r$を表していることが示されました。行階数に関しても同様に示すことが可能です。

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