【徹底解説】行列の階数と一次独立なベクトルの個数

本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。

初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。

行列の階数と一次独立なベクトルの個数

本質的にはベクトル空間と基底の最大個数の話に繋がります。

証明

まず，列ベクトルによって貼られる空間が${\mathbf{R}}^m$の部分空間であることを示します。そのために，${\mathbf{R}}^n$から${\mathbf{R}}^m$への線型写像$L_A$とおき，$\mathbf{x}\in {\mathbf{R}}^n$の$L_A$による像を調べましょう。$\mathbf{x}$を${\mathbf{R}}^n$の標準基底$\{{\mathbf{e}}_1,\dots ,{\mathbf{e}}_n\}$で表すと，

となります。線形写像と行列の関係より，

が成り立ちます。部分空間の像の性質より，$\mathbf{x}$の$L_A$による像は${\mathbf{a}}_1,\dots ,{\mathbf{a}}_n$によって張られる${\mathbf{R}}^m$の部分空間になっています。いま，${\mathbf{a}}_1,\dots ,{\mathbf{a}}_n$のうち一次独立であるものの最大個数を$r$とすると，ベクトル空間と基底の最大個数の証明と同様にすることで，${\mathbf{a}}_1,\dots ,{\mathbf{a}}_n$で張られる空間の基底は$r$個の元から構成されることが分かります。すなわち，基底の定義より

となります。一方，定義より${\mathbf{a}}_1,\dots ,{\mathbf{a}}_n$で張られる空間の次元数が列階数となります。すなわち，列階数は

で表されます。以上より，列階数は$A$の一次独立な列ベクトルの最大個数$r$を表していることが示されました。行階数に関しても同様に示すことが可能です。