【徹底解説】区分けされた三角行列の固有多項式

zuka

こんにちは。
zuka(@beginaid)です。

本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。記事一覧はこちらの目次ページからご覧ください。

初学者の分かりやすさを優先するため,多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。

目次

区分けされた三角行列の固有多項式

正方行列$T$を対称に区分けして,

\begin{align}
T &=
\begin{bmatrix}
A & B \\[0.7em]
O & D
\end{bmatrix}
\end{align}

または

\begin{align}
T &=
\begin{bmatrix}
A & O \\[0.7em]
C & D
\end{bmatrix}
\end{align}

の形になったとすれば,

\begin{align}
f_{T}(x) &= f_{A}(x)\cdot f_{D}(x)\label{主題}
\end{align}

が成り立つ。ただし,$T,A,D$の固有多項式をそれぞれ$f_{T}(x),f_{A}(x),f_{D}(x)$とし,対称に区分けするとは$A$と$D$が正方行列となるように区分けることをいう。

行列式が区分けされたブロック行列として表される場合は,固有値を簡単に求められる可能性があるということです。

証明

区分けされた三角行列の行列式より,$A$を$m$次正方行列,$D$を$n$次正方行列とすると,

\begin{align}
f_{T}(x) &= \det(xI_{m+n}-T)\\[0.7em]
&=
\begin{bmatrix}
xI_{m}-A & O \\[0.7em]
-C & xI_{n}-D
\end{bmatrix} \\[0.7em]
&= \det(xI_{m}-A)\cdot\det(xI_{n}-A) \\[0.7em]
&= f_{A}(x)\cdot f_{D}(x)
\end{align}

が成り立ちます。ただし,$I_{m}$は$m$次正方行列,$I_{n}$は$n$次正方行列を表します。したがって,式($\ref{主題}$)が示されました。

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