本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
目次
一次従属な元からの一次独立な元の抽出
タイトルにもある通り，一次従属な元から一次独立な元を抽出できることを示す定理です。
証明
$v_{1},\ldots,v_{n},w$が一次従属であることから，
\begin{align}
c_{1}v_{1}+\cdots+c_{n}v_{n}+cw &= 0 \label{1}
\end{align}
c_{1}v_{1}+\cdots+c_{n}v_{n}+cw &= 0 \label{1}
\end{align}
を満たし，少なくとも一つは$0$でない実数$c_{1},\ldots,c_{n},c$が存在します。もし，$c=0$であるならば，
\begin{align}
c_{1}v_{1}+\cdots+c_{n}v_{n}+cw &= 0
\end{align}
c_{1}v_{1}+\cdots+c_{n}v_{n}+cw &= 0
\end{align}
を満たし，少なくとも一つは$0$でない実数$c_{1},\ldots,c_{n}$が存在することになり，これは$v_{1},\ldots,v_{n}$が一次独立であることに反します。したがって，$c\neq 0$となります。式($\ref{1}$)の両辺を$c^{-1}$倍して$w$について整理すると，
\begin{align}
w &= (c^{-1}c_{1})v_{1}+\cdots+(c^{-1}c_{n})v_{n}
\end{align}
w &= (c^{-1}c_{1})v_{1}+\cdots+(c^{-1}c_{n})v_{n}
\end{align}
となります。これにより，$w$が$v_{1},\ldots,v_{n}$の一次結合で表すことができることを示せました。
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