【徹底解説】一次従属な元からの一次独立な元の抽出

zuka

こんにちは。
zuka(@beginaid)です。

本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。記事一覧はこちらの目次ページからご覧ください。

初学者の分かりやすさを優先するため,多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。

目次

一次従属な元からの一次独立な元の抽出

$V$をベクトル空間とし,$v_{1},\ldots,v_{n},w\in V$とする。$v_{1},\ldots,v_{n}$は一次独立,$v_{1},\ldots,v_{n},w$は一次従属であるとき,$w$は$v_{1},\ldots,v_{n}$の一次結合で表すことができる。

タイトルにもある通り,一次従属な元から一次独立な元を抽出できることを示す定理です。

証明

$v_{1},\ldots,v_{n},w$が一次従属であることから,

\begin{align}
c_{1}v_{1}+\cdots+c_{n}v_{n}+cw &= 0 \label{1}
\end{align}

を満たし,少なくとも一つは$0$でない実数$c_{1},\ldots,c_{n},c$が存在します。もし,$c=0$であるならば,

\begin{align}
c_{1}v_{1}+\cdots+c_{n}v_{n}+cw &= 0
\end{align}

を満たし,少なくとも一つは$0$でない実数$c_{1},\ldots,c_{n}$が存在することになり,これは$v_{1},\ldots,v_{n}$が一次独立であることに反します。したがって,$c\neq 0$となります。式($\ref{1}$)の両辺を$c^{-1}$倍して$w$について整理すると,

\begin{align}
w &= (c^{-1}c_{1})v_{1}+\cdots+(c^{-1}c_{n})v_{n}
\end{align}

となります。これにより,$w$が$v_{1},\ldots,v_{n}$の一次結合で表すことができることを示せました。

シェアはこちらからお願いします!
URLをコピーする
URLをコピーしました!

コメント

コメントする

※スパム対策のためコメントは日本語で入力してください。

目次
目次
閉じる