【徹底解説】不変部分空間の直和と表現行列

本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。

初学者の分かりやすさを優先するため,多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。

目次

不変部分空間の直和と表現行列

$V$を$\mK$上の$n$次元ベクトル空間,$F$を$V$の線型変換とし,$W_{1},\ldots,W_{p}$をそれぞれ$F$に関して不変な部分空間とする。ただし,$p{>}1$とし,$\mK$は複素数空間$\mC$または実数空間$\mR$を表す。いま,

\begin{align}
V &= W_{1}\oplus\cdots\oplus W_{p}
\end{align}

とし,各$W_{i}$の基底を$\beta_{i}$とする。このとき,基底$\beta_{i}$を並べた$V$の基底$\beta$に関する$F$の表現行列$A$はつぎの形になる。

\begin{align}
A &=
\begin{bmatrix}
A_{1}&&O\\
&\ddots&\\
O&&A_{p}
\end{bmatrix}\label{主題}
\end{align}

ただし,$O$は零行列,$A_{i}$は$F$の定義域を$W_{i}$に制限して得られる$W_{i}$の線型変換$F_{i}$,すなわち$F$の$W_{i}$への縮小の$W_{i}$の基底$\beta_{i}$に関する表現行列とする。

不変部分空間の直和と表現行列に利用される定理です。

証明

$p$に関する帰納法を用いて証明します。$p{=}2$のときは,不変部分空間と表現行列と全く同様にして示すことができます。不変部分空間と表現行列では$F$の不変な$r$次元部分空間を考え,その基底を$V$に延長することで$F$の表現行列$A$が

\begin{align}
A &=
\begin{bmatrix}
A_{11}&A_{12}\\
O&A_{22}
\end{bmatrix}
\end{align}

と表されることを証明しました。ただし,$O$は零行列,$A_{11}$は$F$の定義域を$W_{1}$に制限して得られる$W_{1}$の線型変換$F_{1}$,すなわち$F$の$W_{1}$への縮小の$W_{1}$の基底$\beta_{1}$に関する表現行列です。一方,今回は$W_{2}$も$F$に関して不変な部分空間となっていますので,不変部分空間と表現行列の証明と全く同様の過程により,$A_{22}{=}0$が導かれます。すなわち,$p{=}2$のときに上の主張が成り立つことが示されました。

いま,$V$が$W_{1},\ldots,W_{p-1}$の直和で構成される場合,すなわち

\begin{align}
V &= W_{1}\oplus\cdots\oplus W_{p-1}
\end{align}

に対して上の主張が成り立つとします。表記の簡単のため,

\begin{align}
W_{1:p-1} &= W_{1}\oplus\cdots\oplus W_{p-1}
\end{align}

とおきます。すると,我々が示したいのは$V$が$W_{1},\ldots,W_{p}$の直和で構成される場合,すなわち

\begin{align}
V &= W_{1:p-1}\oplus W_{p}
\end{align}

に対して上の主張が成り立つことです。このとき,$W_{1:p-1}$と$W_{p}$はいずれも$F$に関して不変な部分空間ですので,$p{=}2$のときと全く同じ手続きで証明を行うことが可能であることが分かります。すなわち,$F$の表現行列$A$は

\begin{align}
A &=
\begin{bmatrix}
A_{1:p-1}&O\\
O&A_{p}
\end{bmatrix}\label{A}
\end{align}

となります。ただし,$A_{1:p-1}$は$F$の定義域を$W_{1:p-1}$に制限して得られる$W_{1:p-1}$の線型変換$F_{1:p-1}$,すなわち$F$の$W_{1:p-1}$への縮小の$W_{1:p-1}$の基底$\beta_{1:p-1}$に関する表現行列です。帰納法の仮定によると,$F_{1:p-1}$の表現行列$A_{1:p-1}$は

\begin{align}
A_{1:p-1} &=
\begin{bmatrix}
A_{1}&&O\\
&\ddots&\\
O&&A_{p-1}
\end{bmatrix}
\end{align}

という形になりますから,これを式($\ref{A}$)に代入すると$V$が$W_{1},\ldots,W_{p}$の直和で構成される場合に関しても上の主張が成り立つことが示されました。したがって,帰納法より任意の$p$に対して上の主張が成り立ちます。

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