【徹底解説】線型写像の階数の定義

zuka

こんにちは。
zuka(@beginaid)です。

本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。記事一覧はこちらの目次ページからご覧ください。

初学者の分かりやすさを優先するため,多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。

目次

線型写像の階数

$V,W$を有限次元ベクトル空間とし,$F:~V\rightarrow W$を線型写像とする。$F$のの次元を$F$の階数またはランクといい,$\rank A$と表す。すなわち,$\rank A=\dim (\Im F)$となる。

併せて行列の列階数と行階数の定義もおさえましょう。

補足

行列$A$の列階数の定義は,行列$A$の定める線形写像$L_{A}$の像の次元でした。これは,線型写像の定義に一致します。したがって,行列の列階数と線型写像の階数は一致します。加えて,行列の列階数と行階数も等しくなりますので,結局以下はすべて同等になります。

  • 線型写像の階数
  • 行列の列階数
  • 行列の行階数
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