【徹底解説】正則行列の六つの同等な条件

zuka

こんにちは。
zuka(@beginaid)です。

本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。記事一覧はこちらの目次ページからご覧ください。

初学者の分かりやすさを優先するため,多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。

目次

正則と六つの同等な条件

正方行列$A$が正則であることと,次の六つの条件は互いに同等である。

  1. $\det A\neq 0$ [証明]
  2. $AB=BA=I_{n}$を満たす$n$次正方行列$B$が存在する [証明]
  3. $A$によって定まる線型変換$L_{A}:~\mR^{n}\rightarrow\mR^{n}$は正則である [証明]
  4. $\rank A=n$ [証明]
  5. $\Ker A=\vzero$ [証明]
  6. 一次方程式$A\vx =0$は自明な解しかもたない [証明]

ただし,$I_{n}$は$n$次元単位行列を表す。

正則は線型代数の中でも重要なトピックの一つです。

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