【徹底解説】正則行列の六つの同等な条件

正方行列$A$が正則であることと，次の六つの条件は互いに同等である。

1. $\det A\neq 0$ [証明]
2. $AB=BA=I_{n}$を満たす$n$次正方行列$B$が存在する [証明]
3. $A$によって定まる線型変換$L_{A}:~\mR^{n}\rightarrow\mR^{n}$は正則である [証明]
4. $\rank A=n$ [証明]
5. $\Ker A=\vzero$ [証明]
6. 一次方程式$A\vx =0$は自明な解しかもたない [証明]

ただし，$I_{n}$は$n$次元単位行列を表す。